Как вывести соотношение Кармана-Ховарта-Монина для анизотропной турбулентности?

Позвольте мне здесь вывести уравнение (6.11), которое следует за предложением, которое вы упомянули. Уравнение Навье-Стокса (6.6а) имеет вид

$$\partial_t v_i + v_j\partial_j v_i = -\partial_i p + f_i + \nu~\partial_j\partial_j v_i.$$

Условие несжимаемости (6.6б) имеет вид

$$\partial_jv_j=0.$$

Следовательно, мы имеем в нештрихованной и штрихованной точках, что

$$\partial_t v_i = -\partial_j(v_j v_i) -\partial_i p + f_i + \nu~\partial_j\partial_j v_i,$$

и

$$\partial_t v'_i =-\partial'_j(v'_j v'_i) -\partial'_i p' + f'_i + \nu~\partial'_j\partial'_j v'_i,$$

соответственно. Таким образом, усреднение доходности

$$\begin{align} \partial_t \langle v_i v'_i \rangle &= \langle v'_i \partial_t v_i \rangle + \langle v_i \partial_t v'_i \rangle \\ &= - \langle v'_i\partial_j(v_j v_i) \rangle - \langle v_i \partial_j'(v'_j v'_i) \rangle \\ & -\langle v'_i \partial_i p \rangle -\langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ & +\langle v'_i f_i \rangle +\langle v_i f'_i \rangle \\ & +\nu \langle v'_i\partial_j\partial_jv_i\rangle + \nu \langle v_i\partial'_j\partial'_j v'_i\rangle \\ &= -\partial_j \langle v_i v_j v'_i\rangle -\partial_j' \langle v'_i v'_j v_i\rangle \\ & -\langle v'_i \partial_i p \rangle -\langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ & +\langle v'_i f_i \rangle +\langle v_i f'_i \rangle \\ & +\nu\left( \partial_j\partial_j + \partial'_j\partial'_j\right)\langle v_iv'_i\rangle, \end{align}$$

где мы использовали, что усреднение и дифференцирование коммутируют, а также то, что штрихованные скорости не зависят от нештрихованных производных, и наоборот.

Полное соотношение Кармана-Ховарта-Монина получено в [1]. 1, по существу, следующий Ref. 2.

Использованная литература:

1. Марк Браше, Учебник по классической теории турбулентности ; п. 8-9.

2. Уриэль Фриш, Турбулентность: наследие А. Н. Колмогорова , 1995; п. 79.