Физика многих тел: структура гамильтоновых блоков и симметрии

Рассмотрим проблему многих тел небольшого кластера, например «кластер Хаббарда» (хотя этот вопрос может иметь отношение и к другим гамильтонианам):

ЧАС "=" ∑ < я Дж > о т я Дж ( с я о † с Дж о + с . с . ) + U ∑ я н я ↑ н я ↓ − мю Н

Хорошо понятно, что когда такой оператор коммутирует с наблюдаемой, такой как плотность Н "=" ∑ я н я , н я "=" н я ↑ + н я ↓ и/или магнитный момент М "=" ∑ я м я , м я "=" н я ↑ − н я ↓ это хорошие квантовые числа и при соответствующей сортировке фоковских состояний ⟨ ψ α | матрица Гамильтона

ЧАС α β "=" ⟨ ψ α | ЧАС | ψ β ⟩

распадается на блоки с постоянным числом частиц и магнитным моментом. Однако в большей части литературы упоминается также, что если кластер инвариантен относительно операции симметрии С задачу можно еще упростить, т. е. разложить гамильтониан на еще более мелкие блоки с помощью унитарного преобразования. Теперь вот мои вопросы:

  1. Есть ли систематическое понимание этого упрощения? Учитывая симметрию С , что такое унитарное преобразование, упрощающее гамильтониан?

  2. Как только операция симметрии найдена, насколько малы полученные блоки? Можно ли предсказать их размер?

  3. Если имеется несколько операций симметрии, какая из них приводит к наибольшему упрощению задачи?

  4. Как можно найти точные решения, используя связанные с симметрией унитарные преобразования?

Ответы (1)

Вам может быть полезна следующая статья: A Symbolic Solution of the Hubbard Model for Small Clusters , J. Yepez.

Вы также можете просмотреть теорию групп для физики конденсированных сред, потому что ваши вопросы по существу охватывают основы теории групп и представлений. Многие тексты дают хороший обзор основ теории групп применительно к твердотельным кристаллам, а некоторые из них доступны в Интернете, например, «Симметрия в физике конденсированных сред» П. Г. Радаэлли (ссылка на Университет Оксфорда) или «Приложения групповой теории». Theory to the Physics of Solids» М. С. Дрессельхауса (ссылка MIT).

В любом случае, основные идеи таковы:

  1. Есть ли систематическое понимание этого упрощения? Какое унитарное преобразование, упрощающее гамильтониан, для данной симметрии S?

Да, есть систематический способ сделать это, и он связан с группой преобразований симметрии гамильтониана ЧАС . Упрощающее унитарное преобразование можно найти, начиная с любого произвольного базиса состояний, следующим образом:

i) В заданном базисе сгенерировать матричные представления для гамильтониана и образующие симметрии. Эти матрицы в общем случае дают приводимое представление группы симметрии. ii) Используйте порождающие матрицы и методы теории групп для построения проекторов на состояния, инвариантные относительно преобразований симметрии. Эти новые состояния не являются энергетическими собственными состояниями, а просто состояниями с инвариантной симметрией. iii) Построить новые базисные состояния и унитарную операцию, преобразующую исходный базис в новый. Это унитарное преобразование, которое вы ищете. Подробнее см. ниже.

  1. Как только операция симметрии найдена, насколько малы полученные блоки? Можно ли предсказать их размер?

Да, размер блоков и вырожденность собственных состояний энергии определяются природой группы симметрии. Новый инвариантный базис симметрии содержит группы состояний , которые переходят друг в друга при преобразованиях симметрии, но не могут быть разложены на более мелкие группы с тем же свойством. Каждая из этих групп порождает то, что называется неприводимым представлением группы симметрии. Описанное выше унитарное преобразование разлагает исходное приводимое представление на некоторое количество таких неприводимых представлений. Состояния, соответствующие любому данному неприводимому представлению, смешиваются только между собой в гамильтоновой матрице. Поэтому преобразование в инвариантные по симметрии состояния и разложение на неприводимые представления переводят матрицу гамильтониана в более простую блочно-диагональную форму. Возможные размеры блоков известны и определяются строением группы симметрии независимо от конкретного вида гамильтониана. То есть гамильтонианы совершенно разных систем, имеющих одну и ту же группу симметрии, будут иметь блочно-диагональные формы с блоками одних и тех же заранее определенных размеров. Это размерности неприводимых представлений группы симметрии. Они различаются от группы к группе, но были рассчитаны и сведены в таблицу для всех важных групп симметрии.

  1. Если имеется несколько операций симметрии, какая из них приводит к наибольшему упрощению задачи?

Общее правило состоит в том, что операции более высокой симметрии порождают приводимые представления по отношению к операциям более низкой симметрии. Следовательно, операция, которая фактически определяет разложение на мельчайшие блоки, является наименее симметричной среди операций группы симметрии.

  1. Как можно найти точные решения, используя связанные с симметрией унитарные преобразования?

В основном упрощения симметрии матрицы Гамильтона производят разложения на гораздо меньшие диагональные блоки (неприводимые представления), которые затем могут быть диагонализированы независимо. Таким образом, процедура состоит в диагонализации блока, генерации связанного унитарного преобразования, а затем использовании последнего для нахождения точных собственных состояний. Иногда диагонализацию можно выполнить аналитически, но даже если ее нужно выполнить численно, это все равно гораздо более простая задача, чем исходная.

У меня не было времени тщательно все это проверить, но материала для награды достаточно. Я больше не ждал ответа после этой первоначальной реакции. Спасибо, в любом случае!
Добро пожаловать. Я был на самом деле удивлен, что никто не взялся за это и даже не упомянул некоторые указатели в комментарии.
Физика многих тел: структура гамильтоновых блоков и симметрии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v