Почему ферми-жидкости имеют удельное сопротивление T2T2T^2?

Как электрон-электронное взаимодействие приводит к$T^{2}$зависимость можно объяснить, понимая ограничения, налагаемые на электрон-электронное рассеяние законами сохранения импульса и принципом исключения.

Рассмотрим поверхность Ферми электронного газа в трехмерном пространстве. Поверхность Ферми представляет собой сферу радиусом$k_{f}$. При конечных температурах электроны занимают состояния вне поверхности Ферми, подчиняющиеся уравнению Ферми-Дирака, характеризующиеся оболочкой вне сферы Ферми с радиусом, пропорциональным температуре. Следовательно, внутри сферы Ферми внутри оболочки того же радиуса есть пустые состояния.

Если мы включим электрон-электронные взаимодействия, при малых силах взаимодействия мы можем рассматривать это как рассеяние электронов между этими состояниями в приведенной выше картине невзаимодействия. Электроны, будучи фермионами, могут занимать только те состояния, которые уже не заняты, при условии сохранения импульса. Таким образом, мы должны выбрать два электрона, оба из которых находятся на оболочках радиуса, пропорционального T, по обе стороны от поверхности радиуса$k_{f}$, чтобы можно было рассеяться в пустое состояние вне$k_{f}$поверхность, а другой в пустое состояние в оболочке внутри$k_{f}$поверхность. Таким образом, вероятность выбора двух таких электронов пропорциональна$T^2$.

Поскольку вклад в удельное сопротивление пропорционален вероятности этих событий рассеяния, эти взаимодействия приводят к$T^2$зависимость по удельному сопротивлению.

Есть более строгие аргументы, но я думаю, что это дает интуитивную картину, действительную в контексте слабых взаимодействий и низкой температуры.

Или, может быть, вы могли бы указать мне хорошую ссылку?

Подробности следующего ответа можно найти в следующей статье arXiv (и ссылки в ней) arXiv:1109.3050v1 .

Есть ли простой аргумент, чтобы показать это?

Вроде нет, но могу сказать следующее. Проводимость из - за электрон-электронных столкновений обычно определяется выражением:

$$\sigma = \frac{ n \ e^{2} \ \tau_{coll} }{ m } \tag{0}$$ куда $\sigma$электропроводность, $n$- плотность электронов, $e$является основным зарядом , $m$- масса электрона , а $\tau_{coll}$- средний масштаб времени столкновения (или скорость релаксации). Отметим, что удельное сопротивление , $\eta$, является обратной величиной проводимости в скалярном приближении.

Для жидкости Ландау-Ферми можно показать, что средняя скорость релаксации электронов на поверхности Ферми равна:

$$\tau_{coll}^{-1} = \frac{ \alpha \ \left( m* \right)^{3} \ \left( k_{B} \ T \right)^{2} }{ 12 \ \pi \ \hbar^{6} } \ \langle \frac{ W\left( \theta, \phi \right) }{ \cos{\left( \theta/2 \right)} } \rangle \tag{1}$$ куда $\alpha$есть эффективность передачи импульса ионной решетке как безразмерная величина, удовлетворяющая $\alpha$< 1, $k_{B}$постоянная Больцмана , $\hbar$постоянная Планка , $W\left( \theta, \phi \right)$— вероятность перехода при неупругом рассеянии.

Цитата из указанной выше статьи arXiv:

Однако тот факт, что твердое тело не обладает полной трансляционной симметрией, имеет важные последствия. Уже в 1937 г. Бэйбер продемонстрировал механизм конечного удельного сопротивления в двухзонной модели, в которой$s$электроны рассеиваются от более тяжелых$d$дырок за счет экранированного кулоновского взаимодействия... однозонные процессы переброса позволяют передавать импульс в систему координат кристалла...

где процессы переброса относятся к электрон - фононному и/или фонон-фононному рассеянию в решетке. Авторы также показывают, что термин в угловых скобках может быть объединен со следующим:

$$\langle \frac{ W\left( \theta, \phi \right) }{ \cos{\left( \theta/2 \right)} } \rangle = 12 \lambda_{\tau}^{2} \frac{ \left( \pi \ \hbar \right)^{5} }{ \left( m* \right)^{3} \ \epsilon_{F}* } \tag{2}$$ куда $\lambda_{\tau}$— безразмерный параметр, описывающий взаимодействие, эффективное при полярон- поляронном рассеянии, и $\epsilon_{F}*$– энергия Ферми поляронов. После небольшой алгебры мы можем показать, что: $$\frac{ \hbar }{ \tau_{coll} } = \alpha \ \lambda_{\tau}^{2} \frac{ \pi }{ \epsilon_{F}* } \left( \pi \ k_{B} \ T \right)^{2} \tag{3}$$

Таким образом, сопротивление пропорционально$\eta \propto T^{2}$.