Почему фононная теория не воспроизводит дебаевскую кривую зависимости CVCVC_V от TTT?

В начале страницы 455 у Эшкрофта и Мермина они отмечают, что можно разложить распределение Бозе-Эйнштейна по степеням$1/T$получить высокотемпературное расширение. Первый член дает закон Дюлонга и Пти, а остальные члены затухают в зависимости от$T$. Из-за естественной отсечки высоких частот, вызванной конечным расстоянием между атомами, интегралы в каждом из этих членов также конечны. Эти два факта делают теплоемкость конечной при высоких температурах и что теплоемкость соответствует закону Дюлонга и Пти, поскольку$T\to\infty$. Для конкретного случая рассмотрим следующее.

1D гармоническая модель

В той мере, в какой мы можем рассматривать колебания решетки как гармонические (т.е. без нелинейных членов осциллятора), фононная теория для одномерного твердого тела дает дебаевскую кривую.

Закон дисперсии и плотность состояний

Закон дисперсии для одномерной цепочки атомов с массой$m$разделены расстоянием$a$и соединены пружинами жесткости$c$является

$$\omega = 2\sqrt{\frac{c}{m}}\left|\sin\left(\frac{k_xa}{2}\right)\right|,~~~~~~~\mbox{where}~~~~~~-\frac{\pi}{a}\leq k_x\leq \frac{\pi}{a}.$$ Соответственно, (1D) плотность состояний определяется выражением $$D(\omega) = \frac{L}{\pi}\frac{1}{d\omega/dk},$$ где$L=Na$- общая длина твердого тела, а$N$— число атомов (а также число примитивных элементарных ячеек, поскольку на элементарную ячейку приходится один атом). Используя приведенное выше дисперсионное соотношение, это становится $$D(\omega)= \frac{N}{\omega_{\textrm{max}}}\frac{2}{\pi} \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1-(\omega/\omega_{\textrm{max}})^2}} & \omega \leq \omega_{\textrm{max}} \\ 0 & \textrm{otherwise} \end{cases},$$ где$\omega_{\textrm{max}}=2\sqrt{c/m}$. Важно, чтобы частота среза$\omega_{\textrm{max}}$встраивается автоматически: максимальная частота (минимальная длина волны) возникает из-за конечного расстояния между атомами.

Интегральное выражение для внутренней энергии

При преобразовании интеграла по$k$на один больше$\omega$, внутренняя энергия становится

$$U = \int_0^{\infty}d\omega~D(\omega)\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_{\textrm{B}}T}-1} = \int_0^{\omega_{\textrm{max}}}d\omega~\frac{N}{\omega_{\textrm{max}}}\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-(\omega/\omega_{\textrm{max}})^2}}\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_{\textrm{B}}T}-1}.$$ При замене переменных на$x=\omega/\omega_{\textrm{max}}$, это становится $$U= \frac{2N}{\pi}\hbar\omega_{\textrm{max}}\int_0^{1}dx~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{x}{e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}-1}.$$

Теплоемкость

Теплоемкость определяется выражением

$$\frac{\partial U}{\partial T} = k_{\textrm{B}}\frac{2N}{\pi}\left(\frac{\hbar\omega_{\textrm{max}}}{k_{\textrm{B}}T}\right)^2\int_0^{1}dx~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{x^2e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}}{\left(e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}-1\right)^2}.$$ Этот интеграл конечен для всех положительных значений$T$. Ниже я изобразил эту теплоемкость (сплошная линия) вместе с соответствующей интерполяцией Дебая (штриховая линия) в зависимости от$T$. Мы можем видеть, что обе модели следуют закону Дюлонга и Пти при высоких температурах, что они линейны при низких температурах (и согласуются между собой), и что фононная модель дает более высокую теплоемкость при промежуточных температурах из-за округления дисперсии. соотношение (т. е. большее количество мод на более низких частотах означает, что более высокочастотные моды «включаются» при более низких температурах, чем в модели Дебая с соотношением линейной дисперсии. (Обратите внимание, что для сравнения двух я сопоставил длинноволновую скорость звука двух моделей, что приводит к$\omega_{\textrm{D}} = \frac{\pi}{2}\omega_{\textrm{max}}$.)