Как доказать эквивалентность двух определений сечения рассеяния

Во-первых, важно помнить, что рассеяние частиц по своей сути является квантово-механическим процессом. Описание «эффективной целевой области» — не что иное, как наводящая на размышления классическая метафора, дающая представление об этом неклассическом процессе.

В этой метафоре мы представляем, что наш входящий пучок частиц состоит из$dN_{\rm incoming}$частицы, равномерно распределенные по участкам с площадью поперечного сечения$A_{\rm beam}$и глубина$dl$по ходу луча. Поэтому поток падающих частиц равен$v \,dN_{\rm incoming}/(A_{\rm beam} dl)$где v — скорость частицы.

Некоторая часть частиц в каждом входящем пятне будет рассеиваться в телесный угол$d\Omega$. Что это за дробь? Чтобы выяснить это, представим себе, что весь рассеиватель подразделяется на множество составных типов целей, которые определяют траекторию столкнувшихся с ними частиц. Скорость, с которой частицы попадают в мишень определенного типа, тогда равна просто потоку частиц, умноженному на общую площадь поперечного сечения мишеней этого типа, определяемую выражением$d\sigma / d\Omega$. Другими словами,

$$\frac{dN_{\rm scattered}}{d\Omega dt} = \left( v \frac{dN_{\rm incoming}}{A_{\rm beam} dl}\right) \frac{d\sigma}{ d\Omega}$$

Учитывая то, как мы описали луч,$v = dl/dt$, и после умножения обеих сторон на площадь луча$A_{\rm beam}$и временной интервал$dt$для того, чтобы частицы в пятне пучка столкнулись с мишенями, мы получаем

$$\begin{equation} \frac{dN_{\rm scattered}}{d\Omega} \, \bigg / \, dN_{\rm incoming} = \frac{d\sigma}{d\Omega} \bigg / A_{\rm beam} \label{fraction} \end{equation}$$

Другими словами, доля частиц в пятне пучка, рассеянных в телесный угол d$\Omega$определяется отношением площади поперечного сечения мишени$d\sigma/d\Omega$в зону луча$A_{\rm beam}$.

Приравнивание RHS здесь к квантово-механическому выражению для LHS, данному Ландау, устанавливает определение для$d\sigma / d\Omega$с точки зрения эффективной площади рассеивания, как указано в книге Фейнмана и Хиббса.

Затем мы можем захотеть количественно определить, в какой степени частицы в падающем луче рассеиваются в любом направлении. Частицы, которые продолжают свой путь падения без рассеяния, ничего не вносят в телесный угол рассеяния, потому что их «рассеянное» направление - это точка нулевого размера на единичной сфере, представляющая направления рассеяния. Мы интегрируем наше уравнение для доли рассеянных частиц по телесному углу, чтобы получить

$$\begin{equation} \frac{dN_{\rm scattered}}{dN_{\rm incoming}} = \frac{\sigma}{A_{\rm beam} } \end{equation}$$

где$\sigma = \int (d\sigma / d\Omega) \, d\Omega$. Таким образом, у нас снова есть способ думать о вероятности рассеивания с точки зрения эффективной целевой области.

Помните, что на самом деле нет маленьких целей по площади.$d\sigma/d\Omega$, существуют квантово-механические амплитуды рассеяния. Здесь мы построили классическую аналогию для$\sigma$таким образом, что в конечном итоге он дает тот же результат, что и квантово-механический расчет.