Функция Грина в уравнении Липпмана-Швингера

При выводе сечения рассеяния с помощью уравнения Липпмана-Швингера нам необходимо вычислить функцию Грина, определяемую выражением

$$G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=\langle\mathbf{r}|\frac{1}{E-H+i\epsilon}|\mathbf{r'}\rangle$$ где $H=\frac{p^2}{2m}$представляет собой гамильтониан свободной частицы. Это можно рассчитать как $$G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}}{4 \pi |\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}$$ и по определению должно удовлетворять $$(E-H)G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r'})$$ Я пытаюсь проверить последнее выражение, написав $H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$и работая с производными, используя $\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r'}$чтобы немного упростить дело. Мой метод заключается в использовании идентификатора $$\nabla^2(fg)=f\nabla^2g+2\nabla g.\nabla f+g\nabla^2f$$ рассчитать действие $\nabla^2$на функцию Грина, прежде чем складывать все вместе, используя $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$получить $$(E-H)G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r'})$$ что немного не так. Когда я думаю об этом, я не вижу способа, которым математические операции, выполняемые $E-H$может заставить этот дополнительный нежелательный фактор исчезнуть из конечного результата. Есть ли ошибка во всем, что я сказал, или есть очевидное место, где я уловил этот фактор? Спасибо за любую помощь.