Квантовая задача рассеяния в анизотропной среде

Проблема

Для простоты рассмотрим двумерную задачу. Плоская волна падает из Икс ось:

ψ я н с "=" е я к Икс
Двумерный гамильтониан гласит:
ЧАС "=" п ^ Икс 2 + α п ^ у 2 + В ( р )
где α > 0 но α ≠ 1 . В ( р ) "=" + ∞ когда Икс 2 + у 2 < р 0 2 и В ( р ) "=" 0 в противном случае.

Обсуждение

В стандартной книге по квантовой механике кажется, что у нас всегда есть сферически-симметричный гамильтониан, поэтому мы используем разложение на парциальные волны, и разные парциальные волны рассеиваются независимо. В двумерной задаче радиальная волновая функция является функцией Ганкеля первого рода, поскольку мы требуем, чтобы волна рассеяния имела асимптотическую форму ∼ е я к р / р .

Следует ли в данном случае также потребовать, чтобы волна рассеяния имела асимптотическую форму:

ψ р е ф ∼ е я к р р

Если мы сделаем замену переменных Икс → Икс ′ , у → α у ′ , то задача рассеяния принимает вид:

ЧАС "=" п ^ Икс ′ 2 + п ^ у ′ 2 + В ( Икс ′ , у ′ )
где В ( Икс ′ , у ′ ) "=" + ∞ когда Икс ′ 2 + α у ′ 2 < р 0 2 и В ( Икс ′ , у ′ ) "=" 0 в противном случае. Исходя из этого, возможно, нам следует потребовать, чтобы граничное условие было:

ψ р е ф ∼ е я к р ′ р ′
Даже если мы зададим граничное условие, то какой следующий шаг к волновой функции во всем пространстве?

Вопрос

Подводя итог: как решить эту, казалось бы, простую задачу рассеяния, каково граничное условие? Как получить ближнее поле ( р ∼ р 0 ) волновая функция? Приветствуются как аналитические, так и численные методы.

Ответы (1)

После замены переменных задача эквивалентна решению двумерного уравнения Гельмгольца.

∇ ′ 2 ψ + А 2 ψ "=" 0

Если бы граница оставалась круговой, то радиальная часть решения была бы функцией Ганкеля первого рода, которая асимптотически имеет вид

ЧАС н ( 1 ) ( к р ′ ) ∼ 2 π к р ′ опыт ⁡ ( я ( к р ′ − н π 2 − π 4 ) ) ,
поэтому в заштрихованных координатах решение будет иметь вид
ψ р е ф ∼ е я к р ′ р ′ .
В 2D решение затухает радиально как р ′ − 1 / 2 , в отличие от трехмерного случая, который затухает как р ′ − 1 .

К сожалению, в вашем случае граница становится эллиптической. Хотя асимптотическое поведение не должно измениться, реальное решение немного сложнее. С этого момента я буду рассматривать проблему, выраженную в новых координатах, поэтому для краткости я опускаю штрихи. Я также предположу, не ограничивая общности, что α > 1 , так что граница образует эллипс с фокальными точками в ( − с , 0 ) и ( с , 0 ) , где

с "=" р 0 α − 1 α
и эллиптичность
е "=" α − 1 α .

Такие задачи лучше всего решать в эллиптических координатах ( мю , θ ) , где

Икс "=" с чушь ⁡ мю потому что ⁡ θ у "=" с грех ⁡ мю грех ⁡ θ .

Линия мю "=" с о н с т представляет собой замкнутый эллипс с теми же фокальными точками, что и граница, с с чушь ⁡ мю "=" р 0 на границе. Линия потому что ⁡ θ "=" с о с т представляет собой семейство концентрических парабол. В новых переменных уравнение Гельмгольца принимает вид

∂ 2 ψ ∂ мю 2 + ∂ 2 ψ ∂ θ 2 + с 2 А 2 [ чушь 2 ⁡ мю − с о с 2 θ ] ψ "=" 0 ,
который принимает решения вида
ψ н "=" М н ( 1 ) ( с А , мю ) [ С с н ( с А , θ ) + Д с н ( с А , θ ) ] .

Функции с н ( с А , θ ) и с н ( с А , θ ) являются периодическими решениями уравнения Матье. Они образуют ортогональный базис и для с → 0 они идут в потому что ⁡ ( н θ ) и грех ⁡ ( н θ ) соответственно. Семья М н ( 1 ) ( с 2 А , мю ) являются решениями модифицированного уравнения Матье, которые асимптотически сходятся к ЧАС н ( 1 ) ( 2 с А е мю ) .

Последним шагом является выражение граничного условия на эллипсе

ψ р е ф "=" − ψ я н с "=" − е я к р 0 потому что ⁡ θ
как линейная комбинация с н и с н .

Изучение функций Матье носит довольно технический характер, и полное решение проблемы привело бы к непропорциональному увеличению размера этого ответа. Вместо этого я укажу на некоторые ресурсы, которые могут предоставить вам все инструменты, необходимые для самостоятельного выполнения этой задачи.

  • Общее введение в функции Матье и их отношение к уравнению Гельмгольца см. в Morse & Feshbach «Methods of теоретическая физика», vol. 1 и том. 2, главы 5 и 11.
  • Более подробную информацию, но меньше физики, см. в Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions , глава 20.
  • Об интегралах, необходимых для разложения граничных условий, см. Градштейн и Рыжик, «Таблица рядов и произведений интегралов», 6.924.

Поскольку все три из них являются классическими справочниками, вам не составит труда найти копию.

Большое спасибо за ваш подробный ответ, я сначала изучу его и свяжусь с вами, если у меня возникнут дополнительные вопросы.
Вы знаете, где я могу найти М н ( 1 ) численно? Я нахожу это, но я не понимаю, что здесь означают четные и нечетные, поскольку Абрамовиц и Стеган, кажется, не упоминают там четно-нечетную ситуацию. Реализовано ли это в Mathematica?
Четные и нечетные, вероятно, относятся к с н и с н . я полагаю М н ( 1 ) можно вычислить, используя их с воображаемыми аргументами, но я никогда не пробовал это сам. Надеюсь, это может помочь.
Если вы видите, что этот комментарий должен открыть новый пост, пожалуйста, дайте мне знать... Если у меня есть гамильтониан ЧАС 0 "=" ( п Икс + п 0 ) 2 + п у 2 , с симметричным бесконечным потенциалом твердого ядра, как в основном тексте. Если волна рассеяния асимптотична к е − я п 0 Икс е я к р / р ? кажется усталым.
Это намного проще, так как каноническое преобразование п Икс + п 0 → п Икс ′ , Икс − > Икс ′ приводит к известному изотропному рассеянию на круглом барьере. С более физической точки зрения это та же самая проблема в движущейся системе отсчета. Короче говоря, приведенное выше выражение кажется правильным (при условии, что вы нормализовали его до ℏ "=" 1 ).
Привет, зап. Я работаю над проектом, очень связанным с этой проблемой. Я подумал, что мы могли бы немного обсудить, чтобы увидеть, если вы заинтересованы. Я могу дать вам более подробную информацию, если вы можете отправить мне письмо по адресу 917633243@qq.com
Я только что отправил вам электронное письмо. Спасибо за интерес
Квантовая задача рассеяния в анизотропной среде
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v