Теория рассеяния

Question

Теория рассеяния

Физика
рассеяние
квантовая механика
сечение рассеяния

Ватв

В нерелятивистской квантово-механической теории рассеяния вы можете получить выражение для дифференциального сечения рассеяния в борновском приближении первого порядка как

\frac{г о}{г Ом} "=" | ф (θ) |^{2}

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2$ где

ф (θ) "=" - \frac{м}{2 π ℏ^{2}} \int_{а л л с п а с е} е^{я д \cdot р} В (р) г^{3} р

$f(\theta)=-\frac{m}{2 \pi {\hbar}^2}\int_{all space}e^{i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}}V(\mathbf{r})d^3\mathbf{r}$ где

q = k - k^{'}

$\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{k}'$ - разница между входящим и обнаруженным волновым вектором и

V (r)

$V(\mathbf{r})$ является рассматриваемым потенциалом. Это выражение представляет собой просто преобразование Фурье потенциала по переменной

q

$\mathbf{q}$ .

Затем в моих заметках говорится, что это означает, что для зондирования небольшого объекта вам потребуется высокое $\mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}$ . Кто-нибудь понимает, как это следует из приведенных выше результатов? Спасибо.

Любопытный

Интуитивно, если продукт

\vec{q} \vec{r}

$\vec q \vec r$ мал, экспоненциальный член в основном постоянен, т. е. интеграл почти пропорционален объемному интегралу потенциала, а интеграл нечувствителен к вариациям потенциала там, где он велик (маленький

r

$r$ ). Если вы посмотрите на это более подробно, это очень похоже на проблему оптического разрешения, которая имеет наивное решение 19-го века (критерий Рэлея) и лучшее современное решение, которое берет отношение сигнал/шум в изображении (в данном случае

f (θ)

$f(\theta)$ ) в учетную запись.

Ответы (1)

Теория рассеяния

Интуитивно, если продукт $\vec q \vec r$ мал, экспоненциальный член в основном постоянен, т. е. интеграл почти пропорционален объемному интегралу потенциала, а интеграл нечувствителен к вариациям потенциала там, где он велик (маленький $r$ ). Если вы посмотрите на это более подробно, это очень похоже на проблему оптического разрешения, которая имеет наивное решение 19-го века (критерий Рэлея) и лучшее современное решение, которое берет отношение сигнал/шум в изображении (в данном случае $f(\theta)$ ) в учетную запись.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Поскольку то, что входит в формулу, $\boldsymbol q$ вместо $\boldsymbol k$ , я бы сказал, что нам нужен высокий $\boldsymbol q$ (что, конечно, подразумевает высокую $\boldsymbol k$ , из-за сохранения энергии/импульса). Например, если $\boldsymbol k$ очень высока, но $\boldsymbol q$ нет, это означает, что рассеяния практически не было, а значит, вы ничего не измеряли. Это означает, что вам на самом деле нужно высокое $\boldsymbol q$ .

Теперь, зачем нам высокий $\boldsymbol q$ для измерения мелких предметов? ну, ответ довольно прост: из-за свойств преобразования Фурье .

Хорошо известно, что низкие частоты (читай, низкие $\boldsymbol q$ ) преобразования Фурье кодируют грубые свойства изображения, а высокие частоты кодируют детали $^1$ :

В конце концов, все сводится к принципу неопределенности. $\Delta x\Delta k\ge 1$ , что на самом деле является свойством преобразования Фурье !

$^1$ см., например, http://www.robots.ox.ac.uk/~az/lectures/ia/lect2.pdf

Таким образом, чтобы получить четкую функцию интенсивности изображения (соответствующую изображению с высоким разрешением), нам нужно включить высокочастотные компоненты в преобразование Фурье. Проводя эту аналогию с рассеянием, чтобы получить резкое дифференциальное сечение, нам нужно иметь достаточное количество высокочастотных составляющих в преобразовании Фурье (то есть иметь высокую $\mathbf{q}$ ). Итак, я думаю, остается вопрос, почему наличие «острого» дифференциального сечения позволяет вам лучше исследовать небольшой объект?
Я предполагаю, что лучший способ взглянуть на это — предположить, что у нас низкий импульс — здесь мы получаем почти однородное рассеяние частиц, потому что сечение рассеяния не сильно меняется. С другой стороны, при большом импульсе, когда поток рассеянных частиц значительно меняется в зависимости от положения, мы можем сделать гораздо больше выводов о структуре рассеивающего тела (подобно тому, как Резерфорд сделал вывод о существовании ядра из значительно изменяющегося потока в зависимости от угла рассеяния). Это верно?
@Watw да, это именно то, что происходит. Нам нужен высокий импульс, чтобы получить достаточно чувствительные данные из экспериментов. Если вы думаете о падающей частице как о плоской волне (приближение Борна), то $\mathrm e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r}$ представляет входящую волну. Если вы хотите измерить детали по шкале длины $R$ , то вам лучше иметь $kR\stackrel{>}{\small\sim} 1$ , потому что иначе $\mathrm e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r}$ будет почти постоянным по интересующим значениям $r\sim R$ . Следовательно, если $R$ мало, вам нужно использовать высокое значение $k$ .

Теория рассеяния

Ватв

Любопытный

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

Ватв

Ватв

СлучайныйПреобразование Фурье

Квантовая задача рассеяния в анизотропной среде

Как доказать эквивалентность двух определений сечения рассеяния

Действительность отношения Каллана-Гросса

Форм-фактор в резерфордовском рассеянии

рассеяние αα\альфа-частиц на алюминиевой фольге

Понимание квантовых сечений как площадей

Функция Грина в уравнении Липпмана-Швингера

Почему анзац плоской волны подходит для сечений рассеяния локализованного пучка частиц?

Почему сечение можно получить непосредственно из стационарных состояний рассеяния?

Столкновения s-волн, p-волн или d-волн в теории рассеяния