Строгая трактовка распределений в квантовой механике

Во многих вводных курсах квантовой механики мы видим дельта -функции повсюду. Например, при выражении произвольной волновой функции ψ ( Икс ) в базисе собственных функций позиционного оператора Икс ^ как

ψ ( Икс ) "=" ∫ г ξ дельта ( Икс − ξ ) ψ ( ξ ) .
В обозначениях скобок это соответствует
| ψ ⟩ "=" ∫ г ξ | ξ ⟩ ⟨ ξ | ψ ⟩ ,
где | ξ ⟩ состояние, соответствующее волновой функции Икс ↦ дельта ( Икс − ξ ) . Сейчас дельта -функция на самом деле не функция, а распределение, определяемое тем, как оно действует на тест-функции, т.е. дельта [ ф ] "=" ф ( 0 ) .

Знаете ли вы какой-нибудь вводный текст по квантовой механике, в котором подчеркивается этот момент и правильно используется язык распределений, избегая любых функций с кажущимися бесконечными пиками?

Книга Мессии строго описывает формализм, но она немного устарела и многословна.

Ответы (2)

Возможно, вы начинаете не с того конца. Ваше беспокойство, кажется, связано в первом члене с совершенно вводящей в заблуждение записью интегралов в квантовой механике, и это больше связано со спектральной теоремой, чем с самими распределениями. Распределения появляются в квантовой механике только тогда, когда некоторые операторы имеют пустой спектр в обычном гильберовом пространстве. Затем вам нужно рассмотреть большее основное пространство.

Итак, для интегральной записи и интерпретации вам следует начать с чистой математической книги, такой как Вальтер Рудин «Функциональный анализ». Здесь нет ничего, связанного с физикой, поскольку эти «интегралы проекции-меры» относятся к миру чистой математики и спектральной теоремы. Это абсолютно строгая книга по чистой математике, так что будьте готовы прочитать ее от начала до конца.

Когда у вас есть математические знания и вы чувствуете себя полностью комфортно с интегралами квантовой механики (которые представляют собой не что иное, как спектральную теорему), вы можете перейти к распределениям в квантовой механике, которые разработаны в контексте триплетов Гельфанда. Отличным справочником является «Роль оснащенного гильбертова пространства в квантовой механике» Рафаэля де ла Мадрида. Он находится в свободном доступе в сети.

Дайте мне знать, если это ответ на ваш вопрос.

Большое спасибо! Статья Рафаэля де ла Мадрида — именно то объяснение, которое я искал.

Брайан Холл «Квантовая теория для математиков» — недавняя хорошая книга , в которой основы квантовой механики представлены с математической строгостью, как следует из названия. Он охватывает достаточное количество тем и кажется подходящим для уровня бакалавриата. Краткая книга Макки «Математические основы квантовой механики» — тоже очень хорошая книга по аксиоматизации КМ, но она может быть трудной для студента бакалавриата.

К моему разочарованию, все, что книга Холла говорит о дистрибутивах, представляет собой двухстраничное приложение с определениями.
Вероятно, это связано с тем, что вам не так уж нужны дистрибутивы для тщательного базового контроля качества ;-). Однако, если вы посмотрите на запись «обобщенный собственный вектор» в указателе, вы найдете ссылку на дельта состояния физиков (см. стр. 124 и раздел 6.6 в частности)
Строгая трактовка распределений в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v