Функция Грина в подходе интеграла по путям (QFT)

Хороший вопрос; Я помню, как потратил часы, пытаясь понять это, когда впервые изучил QFT. Давайте рассмотрим ваши два основных момента по очереди. Во-первых, вы говорите

Я не понимаю, как рифмуются эти две разные картинки.

Давайте наметим, как соединить две картинки по шагам. Это хорошее упражнение — попытаться разобраться со всеми кровавыми деталями самостоятельно, поэтому я призываю вас попробовать!

1. Для каждой допустимой классической конфигурации поля$\varphi:\mathbb R^3\to \mathbb R$, позволять$|\varphi,t\rangle$обозначить собственное состояние конфигурации поля во времени$t$. А именно, $$\begin{align} \hat \phi(t,\mathbf x)|\varphi,t\rangle = \varphi( \mathbf x)|\varphi,t\rangle. \end{align}$$ Обратите особое внимание на тот факт, что$\hat\phi$и$\varphi$разные. Первое представляет собой операторнозначное распределение, определенное в пространстве-времени, тогда как второе представляет собой классическую конфигурацию поля, определенную только в пространстве.

2. Показать, что заданные допустимые классические конфигурации поля$\varphi_a,\varphi_b:\mathbb R^3\to \mathbb R$, существует простое функциональное интегральное выражение для упорядоченного по времени ожидаемого значения из$|\varphi_a, t_a\rangle$к$|\varphi_b, t_b\rangle$произведения конечной последовательности полевых операторов:

   $$\begin{align} \langle \varphi_b, t_b| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]&|\varphi_a, t_a\rangle \\ &= \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]} \tag{$\star$} \end{align}$$ где мы определили $$\begin{align} S_{t_a,t_b}[\phi] = \int_{t_a}^{t_b}dt\int d^3\mathbf x \,\mathscr L_\phi(t) \end{align}$$ и$\mathscr L_\phi$— лагранжева плотность теории.

3. Покажите, что математическое ожидание в левой части$(\star)$может использоваться для вычисления соответствующего ожидаемого значения вакуума (vev);

   $$\begin{align} \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty} \frac{\langle \varphi_b, t| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|\varphi_a, -t\rangle}{\langle \varphi_b, t |\varphi_a, -t\rangle} &= \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align}$$ где$\epsilon$является «положительной бесконечно малой» (а именно, вы берете$\epsilon\to 0$предел в конце). Это часто называют$i\epsilon$рецепт; обратите внимание, что это в основном хитрый трюк для проецирования основного состояния из общего ожидаемого значения.

4. Обратите внимание, что функциональная интеграция в правой части$(\star)$можно записать как

   $$\begin{align} \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi] }=\left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}$$ где мы определили $$\begin{align} Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J] = \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]+ i\int_{t_a}^{t_b}\int d^3\mathbf x\,J(x)\phi(x)} \end{align}$$

5. Объедините шаги 2-4, чтобы показать, что если мы определим

   $$\begin{align} W[J] = \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty}\frac{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[0]}, \end{align}$$ тогда мы получаем желаемое выражение, которое дает значения вакуумного среднего в терминах интегралов по траекториям: $$\begin{align} \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle &= \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}$$

Заметить, что

Во-вторых, вы спрашиваете

Представляют ли эти диаграммы Фейнмана для двух разных подходов одну и ту же амплитуду рассеяния?

Формула редукции LSZ является ответом на вопрос о том, как vevs или, что то же самое, функции Грина связаны с$S$-матрицы и амплитуды рассеяния, а выше мы показали, как канонический формализм (который формулируется в терминах vevs) связан с формализмом функционального интеграла, поэтому мы нашли, как формализм функционального интеграла позволяет нам вычислять$S$-матрица. На практике это правда, что вы не видите людей, явно использующих формулу сокращения LSZ, но это потому, что, хотя она концептуально лежит в основе связи между функциями Грина и$S$-матрицы, на практике люди уже использовали LSZ для обоснования кодифицированных правил, а именно правил Фейнмана, которые позволяют перейти непосредственно от диаграмм Фейнмана (которые просто представляют члены в пертурбативных разложениях интегралов Фейнмана) к амплитудам рассеяния.