Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Question

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Физика
распространитель
теория поля
зеленые функции
квантовая теория поля

Томас Рассел

В настоящее время я борюсь с вычислением функций Грина в теории взаимодействующего поля.

Если я использую теорию поля Юкавы со скаляром $\phi$ поле и комплекс $\psi$ field в качестве простого примера, у меня есть следующий лагранжиан:

л "=" \frac{1}{2} (\partial_{мю} ф)^{2} - \frac{1}{2} М^{2} ф^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{мю} ψ^{†}) (\partial^{мю} ψ) - \frac{1}{2} м^{2} ψ^{†} ψ - г ψ^{†} ψ ф

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^{2}-\frac{1}{2}M^{2}\phi^{2}+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\psi^{\dagger})(\partial^{\mu}\psi)-\frac{1}{2}m^{2}\psi^{\dagger}\psi-g\psi^{\dagger}\psi\phi$

Если бы я хотел найти функцию Грина, например:

г_{1}^{(3)} ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, {Икс}_{3}) "=" ⟨ Ом | Т ф ({Икс}_{1}) ψ ({Икс}_{2}) ψ^{†} ({Икс}_{3}) | Ом ⟩ или г_{2}^{(3)} ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, {Икс}_{3}) "=" ⟨ Ом | Т ф ({Икс}_{1}) ψ^{†} ({Икс}_{2}) ψ^{†} ({Икс}_{3}) | Ом ⟩

$G_{1}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\langle\Omega|T\phi(x_{1})\psi(x_{2})\psi^{\dagger}(x_{3})|\Omega\rangle\quad\text{or}\quad G_{2}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\langle\Omega|T\phi(x_{1})\psi^{\dagger}(x_{2})\psi^{\dagger}(x_{3})|\Omega\rangle$

Я могу сделать это, используя производящий функционал, $Z[J,\eta,\eta^{\dagger}]$ :

г_{1}^{(3)} ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, {Икс}_{3}) "=" \frac{1}{Z [0, 0, 0]} {\frac{{дельта}^{3} Z}{дельта Дж дельта η дельта η^{†}} |}_{Дж "=" η "=" η^{†} "=" 0}, г_{2}^{(3)} ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, {Икс}_{3}) "=" \frac{1}{Z [0, 0, 0]} {\frac{{дельта}^{3} Z}{дельта Дж дельта η^{†} дельта η^{†}} |}_{Дж "=" η "=" η^{†} "=" 0}

$G^{(3)}_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{1}{Z[0,0,0]}\left.\frac{\delta^{3}Z}{\delta J\delta \eta\delta \eta^{\dagger}}\right|_{J=\eta=\eta^{\dagger}=0},\quad G_{2}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{1}{Z[0,0,0]}\left.\frac{\delta^{3}Z}{\delta J\delta \eta^{\dagger}\delta \eta^{\dagger}}\right|_{J=\eta=\eta^{\dagger}=0}$

Однако я не уверен, как получить производящий функционал в этом случае. Все заметки, которые я могу найти, говорят о выводе производящего функционала для свободной скалярной теории поля.

Я знаю, что мы можем записать функцию Грина в терминах суммы всех связных графов с $n$ внешние линии. Однако в этом случае у меня нет правил Фейнмана, и поэтому (я думаю) это мне не поможет.

Слереа

В нелинейных теориях нет функции Грина, я полагаю, вы имеете в виду функцию корреляции n точек.

Томас Рассел

@Slereah Предыдущий экзамен, который я видел для своего курса, на самом деле требует «трехточечной функции Грина, которая описывает распад

ϕ \to ψ ψ^{†}

$\phi \to \psi\psi^{\dagger}$ ". Тем не менее, я думаю, что они действительно означают

n

$n$ -точечная корреляционная функция!

Любопытный Разум

@Slereah Это причуда, что некоторые физики склонны использовать «функцию Грина» и «функцию корреляции» как синонимы, к сожалению.

Ответы (1)

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

В нелинейных теориях нет функции Грина, я полагаю, вы имеете в виду функцию корреляции n точек.
@Slereah Предыдущий экзамен, который я видел для своего курса, на самом деле требует «трехточечной функции Грина, которая описывает распад $\phi \to \psi\psi^{\dagger}$ ". Тем не менее, я думаю, что они действительно означают $n$ -точечная корреляционная функция!
@Slereah Это причуда, что некоторые физики склонны использовать «функцию Грина» и «функцию корреляции» как синонимы, к сожалению.

проф. Леголасов · Answer 1

Производящий функционал, как всегда, имеет вид

Z [Дж, η, η^{†}] "=" \int Д ф Д ψ Д ψ^{†} опыт [\frac{я}{ℏ} \int г^{4} Икс (л (ф, ψ, ψ^{†}) + Дж ф + η^{†} ψ + ψ^{†} η)] "="

$Z[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \int \mathcal{D}\phi \mathcal{D} \psi \mathcal{D} \psi^{\dagger} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \left( \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) +J\phi + \eta^{\dagger}\psi + \psi^{\dagger}\eta\right)\right] =$

опыт [- \frac{я г}{ℏ} \int г^{4} Икс \frac{дельта}{дельта Дж} \frac{дельта}{дельта η} \frac{дельта}{дельта η^{†}}] Z_{0} [Дж, η, η^{†}],

$\exp \left[ -\frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \frac{\delta}{\delta J} \frac{\delta}{\delta \eta} \frac{\delta}{\delta \eta^{\dagger}} \right] \; Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}],$

где $Z_0$ является производящим функционалом свободной теории:

Z_{0} [Дж, η, η^{†}] "=" ℏ \int г^{4} Икс \int г^{4} у (\frac{1}{2} Дж (Икс) Δ_{М} (Икс, у) Дж (у) + η^{†} (Икс) Δ_{м} (Икс, у) η (у))

$Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \hbar \int d^4 x \, \int d^4 y \, \left( \frac{1}{2} J(x) \Delta_M(x, y) J(y) + \eta^{\dagger}(x) \Delta_m(x, y) \eta(y) \right)$

с $\Delta_m$ пропагатор Клейна-Гордона с массой $m$ .

Ваша формула для корреляций (она же функция Грина теории взаимодействия) верна. Вы должны адаптировать экспоненту взаимодействующего члена к соответствующему порядку в теории возмущений.

Просто посчитайте, и вы получите правильные выражения для корреляционных функций. Спойлер: второй исчезает.

Кстати, вам не нужно явно писать генерирующий функционал для вычисления корреляций. Есть более простой способ: во-первых, обратите внимание, что вы можете вычислять такие выражения, как

{⟨ Ф [ф, ψ, ψ^{†}] ⟩}_{0} "=" Н_{0} \int Д ф Д ψ Д ψ^{†} опыт [\frac{я}{ℏ} \int г^{4} Икс л_{0} (ф, ψ, ψ^{†})] \cdot Ф [ф, ψ, ψ^{†}]

$\left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right>_0 = \mathcal{N}_0 \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}_0(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}]$

где $F$ полиномиальна по полям с помощью теоремы Вика. Также обратите внимание на диаграммную интерпретацию терминов в расширении Вика.

Затем определите

⟨ Ф [ф, ψ, ψ^{†}] ⟩ "=" Н \int Д ф Д ψ Д ψ^{†} опыт [\frac{я}{ℏ} \int г^{4} Икс л (ф, ψ, ψ^{†})] \cdot Ф [ф, ψ, ψ^{†}] "="

$\left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right> = \mathcal{N} \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] =$

\frac{Н}{Н_{0}} {⟨ Ф \cdot опыт [- \frac{я г}{ℏ} \int г^{4} Икс ф ψ^{†} ψ] ⟩}_{0} .

$\frac{\mathcal{N}}{\mathcal{N}_0} \left< F \cdot \exp \left[ - \frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \phi \psi^{\dagger} \psi \right] \right>_0.$

и Tailor-расширить экспоненту взаимодействующего члена до любого порядка (заданного заранее). Вы придете к полиномиальному выражению (поскольку оба $F$ а усеченный ряд Тейлора является полиномом от $\phi$ , $\psi$ и $\psi^{\dagger}$ ). Мы уже знаем, как их вычислить:

Скобка ожидания для каждого порядка в ряду возмущений задается суммой членов. Каждый член может быть представлен графически в виде диаграммы Фейнмана.

Скобки ожидания по определению нормализованы таким образом, что

{⟨ 1 ⟩}_{0} "=" ⟨ 1 ⟩ "=" 1,

$\left<1\right>_0 = \left<1\right> = 1,$

Который означает, что $\mathcal{N}_0$ и $\mathcal{N}$ связаны друг с другом. Есть очень общий результат, а именно: отношение $\mathcal{N} / \mathcal{N_0}$ соответствует произведению всех пузырьковых графов (без внешних ветвей). Они хорошо учитываются, предоставляя удобный способ расчета корреляций:

Соответствующую нормализацию можно объяснить, просто игнорируя графы с несвязанными пузырьками.

Спасибо, это действительно полезно; и я предполагаю, что это также применимо и к другим теориям поля? Я догадался, что второй запрещен ко всем заказам!
@ThomasRussell Это действительно относится ко всем полям. Интегралы по путям могут быть определены даже для антикоммутирующих полей, что приводит к производящему функционалу для фермионов.
И эти интегралы по траекториям, по-видимому, используют числа Грассмана?

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Томас Рассел

Слереа

Томас Рассел

Любопытный Разум

Ответы (1)

проф. Леголасов

Томас Рассел

проф. Леголасов

Томас Рассел

проф. Леголасов

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Понимание функции Евклида Грина

Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

Физическая интерпретация запаздывающих и фейнмановских пропагаторов?

Квантование свободного вещественного скалярного безмассового поля в 2d

Корреляционная функция и квадривекторы, как упростить тройной интеграл?

Почему функция Грина будет расходиться в одной и той же точке пространства-времени?

Связь между обращением в нуль сопряженного импульса π0π0\pi^0 и отсутствием пропагатора для свободного ЭМ поля

Как понять, почему массивные поля экспоненциально затухают с расстоянием?

Квантовая теория поля, решение дельта/зеленой функции