Квантовая теория поля, решение дельта/зеленой функции

Мы можем использовать проекционные операторы

$$\begin{align} & P^{T}_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}}, \\ & P^{L}_{\mu \nu} = \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}}, \end{align}$$ где$P^{T}_{\mu \nu}$и$P^{L}_{\mu \nu}$– поперечный и продольный проекторы.$P^{T}_{\mu \nu}$и$P^{L}_{\mu \nu}$операторы проектирования на векторы, ортогональные и параллельные$k^{\mu}$, соответственно. Вы можете сами убедиться, что они удовлетворяют свойствам проекторов.

Затем мы пишем

$$\begin{align} -(k^{2}-m) g^{\mu \nu} + k^{\mu}k^{\nu} = A \cdot P^{T,\mu \nu} + B \cdot P^{L,\mu \nu} \end{align}$$ где мы можем найти $$\begin{align} A = -(k^{2} - m^{2}),\ B = m^{2}. \end{align}$$ Теперь, чтобы найти обратное$D_{\mu \nu}(k)$мы просто инвертируем$A$и$B$а затем опустить$\mu$и$\nu$в$A \cdot P^{T,\mu \nu} + B \cdot P^{L,\mu \nu}$, где мы получаем $$\begin{align} D_{\mu \nu}(k) & = \frac{1}{A} P^{T}_{\mu \nu} + \frac{1}{B} P^{L}_{\mu \nu} = \frac{1}{-(k^{2}-m^{2})}P^{T}_{\mu \nu} + \frac{1}{m^{2}} P^{L}_{\mu \nu} \\ & = \frac{1}{-(k^{2}-m^{2})}\left( g_{\mu \nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}} \right) + \frac{1}{m^{2}} \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}} \\ & = \frac{1}{k^{2}-m^{2}}\left( -g_{\mu \nu} + \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{m^{2}} \right). \end{align}$$ При решении такого рода уравнений всегда очень полезно использовать$P^{T}_{\mu \nu}$и$P^{L}_{\mu \nu}$, так как процесс инвертирования очень прост. Для получения дополнительной информации вы можете посмотреть «Квантовая теория поля: лекции Сидни Коулмана». В главе 28.6 он фактически представил те же вычисления, что и я. Он также представил личности, подтверждающие, что$P^{T}_{\mu \nu}$и$P^{L}_{\mu \nu}$действительно проекторы.