Пропагатор гармонического осциллятора

Я читаю книгу Энтони Дункана по квантовой теории поля и немного запутался в пропагандистах.

Сначала он определяет пропагатор К ( д ф , Т ; д я , 0 ) как амплитуда обнаружения частицы, которая первоначально находилась на д я в момент времени 0 в другом месте д ф в некоторый момент времени t, т.е.:

К ( д ф , т ; д я , о ) =< д ф | е − я ЧАС т | д я >

А затем для простого гармонического осциллятора:

ЧАС "=" п 2 2 м + 1 2 м ш 2 д 2

Он говорит, что пропагатор удовлетворяет дифференциальному уравнению:

я ∂ ∂ т К ( д ф , т ; д я , 0 ) "=" − 1 2 м ∂ 2 К ( д ф , т ; д я , 0 ) ∂ д ф 2 + 1 2 м ш 2 д ф 2 К ( д ф , т ; д я , 0 )

И я понятия не имею, откуда взялось это уравнение. Я предполагаю, что это уравнение Шредингера, но К это амплитуда, а не состояние кет, поэтому я потерялся.

Кто-нибудь знает?

С одной стороны, вы просто спрашиваете, как ∂ ∂ т ⟨ Икс | е А т | у ⟩ "=" ⟨ Икс | А е А т | у ⟩ "=" А ⟨ Икс | е А т | у ⟩ следует осмыслить. Дело без термина п 2 2 м прозрачный?
Да, теперь действительно ясно!

Ответы (1)

Матричный элемент ⟨ Икс | ψ ⟩ где Икс может изменяться только волновая функция

ψ ( Икс ) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩ .

Итак, матричный элемент ⟨ Икс | п | ψ ⟩ это просто представление волновой функции состояния п | ψ ⟩ . Мы знаем, что оператор импульса в представлении волновой функции действует как производная, поэтому

⟨ д ф | п | ψ ⟩ "=" − я ∂ ∂ д ф ψ ( д ф ) .

Также | д ф ⟩ является собственным состоянием д оператор (самосопряженный), поэтому

⟨ д ф | д | ψ ⟩ "=" д ф ψ ( д ф ) .

Теперь, чтобы показать дифференциальное уравнение, которое вы ищете, просто возьмите | ψ ⟩ "=" е − я ЧАС т | д я ⟩ , и обратите внимание

я ∂ ∂ т ⟨ д ф | ψ ⟩ "=" ⟨ д ф | ЧАС | ψ ⟩ "=" 1 2 м ⟨ д ф | п 2 | ψ ⟩ + 1 2 м ю 2 ⟨ д ф | д 2 | ψ ⟩ .

Теперь дважды примените вышеуказанные тождества.

Я бы сказал, что второе уравнение с производной не так очевидно, не так ли?
И как лучше всего решить уравнение в частных производных для пропагатора K?
Что ж, это уникальное фундаментальное решение уравнения Шре для осциллятора с каноническим начальным условием для пропагатора (δ fctn для t = 0), так что вы мгновенно получаете ядро ​​Мелера дюжиной различных способов, согласно статье WP.
Пропагатор гармонического осциллятора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v