Распространитель свободного пространства: согласование двух результатов

Question

Распространитель свободного пространства: согласование двух результатов

Физика
распространитель
нормализация
интеграл по путям
квантовая механика
функциональные детерминанты

М. Цзэн

В квантовой механике пропагатор в свободном пространстве $G(q_f=0,q_i=0;\tau)$ можно легко рассчитать как

\sqrt{\frac{м}{2 π я ℏ т}}

$\sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar \tau}}$ путем вставки оператора идентификации.

Однако, если мы используем функциональный интеграл, мы получаем

\begin{aligned} г (д_{ф} "=" 0, д_{я} "=" 0; т) & "=" \int Д д е^{- \frac{я}{ℏ} \int_{0}^{т} д т \frac{м}{2} {\dot{д}}^{2}} \\ "=" \int Д р е^{- \frac{я}{ℏ} (С [д_{с л}] + С [р (т)])} \\ "=" \int Д р е^{- \frac{я}{ℏ} С [р (т)]} \\ "=" \int Д р е^{\frac{я}{ℏ} \int д т р (т) \partial_{т}^{2} р (т)} \\ "=" (дет [\frac{я}{π ℏ} \partial_{т}^{2}])^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} G(q_f=0,q_i=0;\tau)&=\int Dq e^{-\frac{i}{\hbar}\int_0^{\tau} dt \frac{m}{2}\dot{q}^2}\\ &=\int Dr e^{-\frac{i}{\hbar}(S[q_{cl}]+S[r(t)])}\\ &=\int Dr e^{-\frac{i}{\hbar}S[r(t)]}\\ &=\int Dr e^{\frac{i}{\hbar}\int dt r(t)\partial_t^2 r(t)}\\ &=(\det[\frac{i}{\pi\hbar}\partial_t^2])^{-1/2} \end{split} \end{equation}$ где классическая траектория

q_{c l} (t) = 0

$q_{cl}(t)=0$ из-за граничных условий и

r (t)

$r(t)$ является флуктуация. Если мы найдем собственные состояния и собственные значения

\partial_{t}^{2}

$\partial_t^2$ :

\partial_{т}^{2} р_{н} (т) "=" λ_{н} р_{н} (т)

$\partial_t^2 r_n(t)=\lambda_nr_n(t)$ с

r_{n} (0) = r_{0} (τ) = 0

$r_n(0)=r_0(\tau)=0$ , мы получаем

r_{n} (t) = \sin (n π t / τ)

$r_n(t)=\sin(n\pi t/\tau)$ и

λ_{n} = (n π / τ)^{2}

$\lambda_n=(n\pi/\tau)^2$ . Таким образом, у нас есть

дет (\partial_{т}^{2}) "=" \prod_{Дж "=" 1}^{\infty} (н π / т)^{2}

$\det(\partial_t^2)=\prod_{j=1}^{\infty}(n\pi/\tau)^2$ который стремится к бесконечности, и в результате пропагатор, кажется, стремится к 0.

Я не уверен, что пошло не так для этого расчета. Любая помощь приветствуется.

Редактировать: предложено @AccidentalFourierTransform, ниже приведен подход дзета-функции, который, похоже, все еще не работает.

для простоты мы устанавливаем все несущественные константы равными 1, и, таким образом, $\lambda_n=n^2$ , то имеем

ζ (с) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{1}{λ_{н}^{с}} "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{1}{н^{2 с}}

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_n^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2s}}$ а затем нам нужно вычислить производную дзета-функции, а затем взять предел

s

$s$ обращается к 0 с последующим возведением в степень, чтобы получить определитель.

ζ^{'} (с) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} - \frac{л н λ_{н}}{н^{2 с}}

$\zeta'(s)=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{ln\lambda_n}{n^{2s}}$ Я попытался численно, взяв

s

$s$ к 0 как от реальной оси, так и от мнимой оси, но обе, кажется, расходятся, т.е. та же проблема остается.

СлучайныйПреобразование Фурье

Вы пытались упорядочить продукт? см. Функциональный определитель

М. Цзэн

Я думаю, что это обычно делается для пропагаторов с некоторым ненулевым потенциалом, где мы берем отношение между этим пропагатором и свободным пропагатором. Но как обойти бесконечности в свободном пропагаторе? значит ли это, что функциональный определитель в данном случае просто не способен дать каких-либо осмысленных результатов?

СлучайныйПреобразование Фурье

позволять

λ_{n} = n π / τ

$\lambda_n= n\pi/\tau$ ; Обратите внимание, что

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- \log λ_{n}}{λ_{n}^{s}}

$\sum_{n=1}^\infty\frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s}$

= (τ / π)^{s} \log (π τ) ζ (s) + (τ / π)^{s} ζ^{'} (s) \to - \frac{1}{2} \log (2 τ)

$=(\tau/\pi)^s\log(\pi\tau)\zeta (s)+(\tau/\pi)^s\zeta'(s)\to-\frac{1}{2}\log(2\tau)$ как

s \to 0

$s\to 0$ . Взяв экспоненту, мы получим

G = \frac{1}{\sqrt{2 τ}}

$G=\frac{1}{\sqrt{2\tau}}$ . Этот результат неверен, но таково ваше выражение для

λ_{n}

$\lambda_n$ (например, это должно зависеть от

m

$m$ ).

СлучайныйПреобразование Фурье

в любом случае, расчеты из моего последнего комментария, вероятно, неверны (я не делал их с особой тщательностью), но моя точка зрения такова: 1) вычислить собственные значения

\frac{i m}{π ℏ} \partial_{t}^{2}

$\frac{im}{\pi\hbar}\partial_t^2$ , и позвоните им

λ_{n}

$\lambda_n$ . 2) затем используйте выражение из ссылки, которую я разместил ранее (

det (S) = \sum \frac{\log λ}{λ^{s}}

$\text{det}(S)=\sum \frac{\log\lambda}{\lambda^s}$ ) и распространим эту функцию на комплексную плоскость. 3) Затем возьмите предел

s \to 0

$s\to 0$ , и, наконец, возведите результат в степень. Вы должны получить правильный результат для

G

$G$ (если вы это сделаете, опубликуйте свою работу здесь, и мы ее проверим, и это может быть полезно для других пользователей в будущем)

М. Цзэн

@AccidentalFourierTransform Я добавил расчет на основе вашего предложения, но, похоже, он не работает. Пожалуйста, обратитесь к отредактированной версии вопроса.

Qмеханик

Небольшой комментарий к вопросу (v5): минус в аргументе первой экспоненциальной функции не соответствует стандартному (Минковскому) соглашению о знаках.

СлучайныйПреобразование Фурье

@ M.Zeng, вы не должны на самом деле оценивать сумму: представление дзета-функции в виде ряда не будет сходиться для

s \leq 1

$s\le1$ (в вашем случае вы хотите

s \to 0

$s\to0$ ). Что вам нужно сделать, так это использовать аналитическое продолжение

ζ (s)

$\zeta(s)$ для отрицательных значений

s

$s$ . См. статью в Википедии для

ζ (s)

$\zeta(s)$ : там вы найдете эквивалентные представления, которые сходятся для

s \to 0

$s\to0$ . (думать о

\sum x^{n}

$\sum x^n$ : сходится для

| x | < 1

$|x|<1$ , но его аналитическое продолжение

\frac{1}{1 - x}

$\frac{1}{1-x}$ сходится для любого

x \neq 1

$x\neq1$ ; вы хотите сделать то же самое для

ζ (s)

$\zeta(s)$ , где оригинальная серия плохо подходит для общего

s

$s$ )

М. Цзэн

хорошо, вот вопрос, почему я не должен делать это таким образом? Представление в виде ряда — это то, что мы получаем непосредственно из функционального интеграла. Если нам нужно сделать что-то еще с рядом, чтобы получить физически разумные результаты, то это должно быть связано с проблемой функционального интегрирования.

Ответы (1)

Распространитель свободного пространства: согласование двух результатов

Вы пытались упорядочить продукт? см. Функциональный определитель
Я думаю, что это обычно делается для пропагаторов с некоторым ненулевым потенциалом, где мы берем отношение между этим пропагатором и свободным пропагатором. Но как обойти бесконечности в свободном пропагаторе? значит ли это, что функциональный определитель в данном случае просто не способен дать каких-либо осмысленных результатов?
позволять $\lambda_n= n\pi/\tau$ ; Обратите внимание, что $\sum_{n=1}^\infty\frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s}$ $=(\tau/\pi)^s\log(\pi\tau)\zeta (s)+(\tau/\pi)^s\zeta'(s)\to-\frac{1}{2}\log(2\tau)$ как $s\to 0$ . Взяв экспоненту, мы получим $G=\frac{1}{\sqrt{2\tau}}$ . Этот результат неверен, но таково ваше выражение для $\lambda_n$ (например, это должно зависеть от $m$ ).
в любом случае, расчеты из моего последнего комментария, вероятно, неверны (я не делал их с особой тщательностью), но моя точка зрения такова: 1) вычислить собственные значения $\frac{im}{\pi\hbar}\partial_t^2$ , и позвоните им $\lambda_n$ . 2) затем используйте выражение из ссылки, которую я разместил ранее ( $\text{det}(S)=\sum \frac{\log\lambda}{\lambda^s}$ ) и распространим эту функцию на комплексную плоскость. 3) Затем возьмите предел $s\to 0$ , и, наконец, возведите результат в степень. Вы должны получить правильный результат для $G$ (если вы это сделаете, опубликуйте свою работу здесь, и мы ее проверим, и это может быть полезно для других пользователей в будущем)
@AccidentalFourierTransform Я добавил расчет на основе вашего предложения, но, похоже, он не работает. Пожалуйста, обратитесь к отредактированной версии вопроса.
Небольшой комментарий к вопросу (v5): минус в аргументе первой экспоненциальной функции не соответствует стандартному (Минковскому) соглашению о знаках.
@ M.Zeng, вы не должны на самом деле оценивать сумму: представление дзета-функции в виде ряда не будет сходиться для $s\le1$ (в вашем случае вы хотите $s\to0$ ). Что вам нужно сделать, так это использовать аналитическое продолжение $\zeta(s)$ для отрицательных значений $s$ . См. статью в Википедии для $\zeta(s)$ : там вы найдете эквивалентные представления, которые сходятся для $s\to0$ . (думать о $\sum x^n$ : сходится для $|x|<1$ , но его аналитическое продолжение $\frac{1}{1-x}$ сходится для любого $x\neq1$ ; вы хотите сделать то же самое для $\zeta(s)$ , где оригинальная серия плохо подходит для общего $s$ )
хорошо, вот вопрос, почему я не должен делать это таким образом? Представление в виде ряда — это то, что мы получаем непосредственно из функционального интеграла. Если нам нужно сделать что-то еще с рядом, чтобы получить физически разумные результаты, то это должно быть связано с проблемой функционального интегрирования.

Qмеханик · Answer 1

Основной вопрос ОП, по сути, такой же, как и в этом посте Phys.SE, хотя подробный расчет немного отличается и его интересно сравнить.

I) Действие свободной нерелятивистской точечной частицы с массой $m=1$ читает:

\begin{matrix} (1) & С "=" \frac{1}{2} \int_{0}^{Т} д т \dot{Икс} (т)^{2} "=" \frac{1}{2} ⟨ Икс, А Икс ⟩ "=" \frac{1}{2} \sum_{н е Н} λ_{н} с_{н}^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} S ~=~\frac{1}{2}\int_0^T\! dt~ \dot{x}(t)^2~=~ \frac{1}{2}\langle x,Ax \rangle~=~\frac{1}{2}\sum_{n\in \mathbb{N}} \lambda_n c_n^2 .$

Здесь мы приняли граничные условия Дирихле (DBC)

\begin{matrix} (2) & Икс (0) "=" 0 "=" Икс (Т) . \end{matrix}

$\tag{2} x(0)~=~0~=~x(T).$

Более того, здесь

\begin{matrix} (3) & ⟨ ф, г ⟩ "=" \int_{0}^{Т} д т ф (т) г (т) \end{matrix}

$\tag{3} \langle f,g \rangle ~:=~ \int_0^T\! dt ~f(t)g(t)$

является внутренним продуктом над $\mathbb{R}$ .

II) В ур. (1) мы также ввели положительный оператор

\begin{matrix} (4) & А "=" - \partial_{т}^{2} \end{matrix}

$\tag{4} A~:=~-\partial_t^2$

с положительными собственными значениями

\begin{matrix} (5) & λ_{н} "=" {(\frac{π н}{Т})}^{2} > 0, н е Н . \end{matrix}

$\tag{5} \lambda_n~=~\left(\frac{\pi n }{T}\right)^2~>~0, \qquad n\in \mathbb{N}.$

Определитель становится через регуляризацию дзета-функции

\begin{matrix} (6) & дет (А) "=" \prod_{н е Н} λ_{н} "=" {(\prod_{н е Н} \frac{π н}{Т})}^{2} "=" 2 Т, \end{matrix}

$\tag{6}\det(A)~=~\prod_{n\in\mathbb{N}} \lambda_n~=~\left(\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\pi n }{T}\right)^2 ~=~2T ,$

используя, например, ур. (7) в моем ответе Phys.SE здесь .

III) Нормализованные собственные функции равны

\begin{matrix} (7) & {Икс}_{н} (т) "=" \sqrt{\frac{2}{Т}} грех \frac{π н}{Т} т, н е Н . \end{matrix}

$\tag{7} x_n(t) ~=~ \sqrt{\frac{2}{T}} \sin \frac{\pi n }{T}t , \qquad n\in \mathbb{N}.$

Произвольный виртуальный путь $t\mapsto x(t)$ удовлетворяющая DBC (2), является линейной комбинацией

\begin{matrix} (8) & Икс "=" \sum_{н е Н} с_{н} {Икс}_{н}, \end{matrix}

$\tag{8} x ~=~ \sum_{n\in \mathbb{N}} c_n x_n,$

где $c_n\in\mathbb{R}$ — произвольные коэффициенты, по которым мы должны проинтегрировать интеграл по путям.

IV) Теперь давайте рассмотрим квантовую механику. Предположим $\hbar=1$ для простоты. Интегральная мера пути

\begin{matrix} (9) & Д Икс "=" Н \prod_{н е Н} \frac{д с_{н}}{\sqrt{2 π}}, \end{matrix}

$\tag{9} {\cal D}x~:=~N \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\mathrm{d}c_n}{\sqrt{2\pi}} ,$

где $N$ является нормирующим фактором. Таким образом, евклидов интеграл по траекториям является бесконечномерным интегралом Гаусса.

\begin{matrix} (10) & Z "=" \int_{Д Б С} Д Икс е^{- С} "=" \frac{Н}{\sqrt{дет (А)}} "=" \frac{Н}{\sqrt{2 Т}} . \end{matrix}

$\tag{10} Z~=~\int_{DBC} \!{\cal D}x ~e^{-S}~=~\frac{N}{\sqrt{\det (A)}} ~=~ \frac{N}{\sqrt{2T}}.$

По-видимому, мы должны выбрать коэффициент нормализации $N=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ чтобы получить евклидову версию первой формулы OP

\begin{matrix} (11) & Z "=" \frac{1}{\sqrt{2 π Т}} . \end{matrix}

$\tag{11} Z~=~\frac{1}{\sqrt{2 \pi T}}.$

кажется, что вся проблема берет свое начало в представлении аналитических функций рядами и их аналитическом продолжении. Благодаря методу функционального интегрирования, который мы использовали, у нас есть ряд, который расходится в интересующей области, а затем мы используем аналитическое продолжение, чтобы расширить область сходимости, чтобы в конечном итоге получить некоторый конечный результат, который работает. Это связано с внутренней проблемой функциональной интеграции? и является ли это частью причины, по которой люди до сих пор ищут математически строгое обоснование этой техники?
Нам нужно использовать регуляризацию , чтобы понять интеграл по путям. Это не обязательно должна быть регуляризация дзета-функции . Можно использовать и другие регуляризации, например, регуляризацию Паули-Виллара .

Распространитель свободного пространства: согласование двух результатов

М. Цзэн

СлучайныйПреобразование Фурье

М. Цзэн

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

М. Цзэн

Qмеханик

СлучайныйПреобразование Фурье

М. Цзэн

Ответы (1)

Qмеханик

М. Цзэн

Qмеханик

Нормализация пропагаторов (интегралы по путям)

Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Как напрямую оценить интеграл пути для гармонического осциллятора методом грубой силы?

Оцените Propagator для частицы, движущейся по кругу

Интеграл по путям в четном числе пространственных измерений: существует ли он?

Интерпретация пропагатора

Пропагатор в квантовом механизме интеграла по пути как функция Грина уравнения Шредингера

Пропагатор Фейнмана для фотонов и фактическое распространение фотонов

Нормализация статистического интеграла по путям