Интеграл по путям в четном числе пространственных измерений: существует ли он?

Формулировка интеграла по путям в квантовой механике связана с принципом Гюйгенса, как было сформулировано Фейнманом в его основополагающей статье [1] и с тех пор широко комментируется. Однако принцип Гюйгенса не работает в четных измерениях, см., например, эту веб-страницу или этот Physics SE . Можем ли мы тогда заключить, что интеграл по путям работает только в нечетных измерениях?

[1] Feynman, RP (апрель 1948 г.). «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике». В: Ред. Мод. физ. 20 (2), стр. 367–387.

Помимо принципа Гюйгена, есть и другие обоснования формулировки QM с интегралом по путям, например подход наименьшего действия. Тот факт, что принцип Гюйгена неприменим, не означает, что формулировка интеграла по путям не может быть реализована в двумерном пространстве, но влияет на то, как выглядит эта формулировка интеграла по путям.
Насколько мне известно, формулировка интеграла по путям является лагранжевой формулировкой КМ (вместо гамильтоновой формулировки Шредингера ) и не имеет ничего общего с принципом Гюйгенса (даже если это было первоначальным или историческим обоснованием). Формулировка пути должна быть действительна для любых измерений.

Ответы (1)

Боюсь, вы неправильно понимаете Фейнмана. Он прямо говорит вам , что обсуждает распространение уравнения Шредингера первого порядка по времени, а не уравнения Даламбера второго порядка, чьи функции Грина демонстрируют особенности, о которых он сам вас предупреждает.

Он следует эпохальной работе Дирака (1933 г.) Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 , 64–72 , чтобы фактически продемонстрировать, что если амплитуда волны задана на какой-либо «поверхности», ее значение через короткое время после этого представляет собой сумму всех вкладов всех точек поверхности в исходное время, каждый вклад задерживается по фазе на величину, пропорциональную действию S этого сегмента, классически (экстремально). В этом суть умножения, объединения и суммирования амплитуд КМ.

⟨ д т | д Т ⟩ "=" ∫ ⟨ д т | д м ⟩ г д м ⟨ д м | д м − 1 ⟩ г д м − 1 . . . ⟨ д 2 | д 1 ⟩ г д 1 ⟨ д 1 | д Т ⟩ ,
уравнение (11) выше; и принципа Гюйгенса; сегодня это чуть ли не второе, что мы все узнаем о КМ, см. книгу Дирака о КМ, §32. Это, по сути, вплоть до нормализации, само определение интеграла по путям, и оно работает во всех измерениях . Это то, что он называет сильным принципом Гюйгенса — определенно не то, что диктуют ваши ссылки.

Затем он «извиняется» за повторение дираковской «прекрасной» деструктивной интерференции неэкстремальных путей и господства классического предела, «причина» экстремальности классической механики.

Теперь вы понимаете, почему найденный таким образом одномерный свободный пропагатор легко мультиплексировать в произвольное число измерений, четных и нечетных?

  • Фактически, Gutzwiller 1988 выводит принцип Гюйгенса из интеграла по траекториям, включая упомянутое вами размерное ослабление.
Интеграл по путям в четном числе пространственных измерений: существует ли он?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v