Вычисление лагранжиана из гамильтониана 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

Question

Вычисление лагранжиана из гамильтониана 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

сужение

Утверждается, что гамильтониан для частицы на кольце (уравнение 9.1 из Altland2010a Condensed Matter Field Theory , стр. 498):

\begin{matrix} (9.1) & ЧАС "=" \frac{1}{2} (- я \partial_{ф} - А)^{2} "=" \frac{1}{2} (п - А)^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation} H = \frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2 = \frac{1}{2}(p-A)^2.\tag{9.1} \end{equation}$

В книге утверждается, что

\begin{matrix} (9.4) & л "=" \frac{1}{2} {\dot{ф}}^{2} - я А \dot{ф} \end{matrix}

$\begin{equation} L = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - iA \dot{\phi}\tag{9.4} \end{equation}$ Я совсем запутался, особенно по поводу внешнего вида

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ . Может ли кто-нибудь объяснить немного?

Что я пробовал:

Поскольку обратным преобразованием Лежандра является само преобразование Лежандра,

\begin{aligned} Обозначать Икс & \equiv \frac{\partial ЧАС}{\partial п} "=" п - А, так, \\ п & "=" Икс + А, ЧАС "=" \frac{1}{2} {Икс}^{2}, так, \\ л "=" Икс п - ЧАС & "=" Икс (Икс + А) - \frac{1}{2} {Икс}^{2} "=" \frac{1}{2} {Икс}^{2} + Икс А \end{aligned}

$\begin{align} \text{Denote }x &\equiv \frac{\partial H}{\partial p} = p-A,\text{ so,} \\ p &= x + A,\quad H = \frac{1}{2}x^2 ,\text{ so,}\\ L = x p - H &= x(x+A) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + x A \end{align}$ Итак, мой расчет показал, что лагранжиан вышеуказанного гамильтониана:

л "=" \frac{1}{2} {Икс}^{2} + Икс А

$\begin{equation} L = \frac{1}{2}x^2 + x A \end{equation}$ где

Икс "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п}

$\begin{equation} x = \frac{\partial H}{\partial p} \end{equation}$

Любопытный Разум

... почему вы называете преобразованную Лежандром переменную, связанную с

p

$p$

x

$x$ и не

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ ?

сужение

@ACuriousMind Верно, я не знаком с теориями поля, поэтому просто выбираю

x

$x$ из-за удобства. Но даже когда я пытался сравнить свой ответ с ответом в книге, я не мог выбрать термин, согласованный с преобразованием Лежандра.

сужение

Продолжим обсуждение в чате .

Ответы (2)

Вычисление лагранжиана из гамильтониана 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

... почему вы называете преобразованную Лежандром переменную, связанную с $p$ $x$ и не $\dot{\phi}$ ?
@ACuriousMind Верно, я не знаком с теориями поля, поэтому просто выбираю $x$ из-за удобства. Но даже когда я пытался сравнить свой ответ с ответом в книге, я не мог выбрать термин, согласованный с преобразованием Лежандра.

Qмеханик · Answer 1

Начнем с лагранжиана
$л_{М} "=" \frac{м}{2} {(\frac{д \vec{р}}{д т_{М}})}^{2} + д \vec{А} \cdot \frac{д \vec{р}}{д т_{М}} - д ф_{М},$ $L_M~=~\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt_M}\right)^2 + q \vec{A}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt_M}-q\phi_M,$ для нерелятивистской точечной частицы в пространстве Минковского с фоном E&M. Этот лагранжиан появляется в формулировке интеграла по путям QM.
Мы можем выполнить преобразование Лежандра . Импульс Минковского равен
${\vec{п}}_{М} "=" м \frac{д \vec{р}}{д т_{М}} + д \vec{А},$ $\vec{p}_M~=~ m\frac{d\vec{r}}{dt_M}+q\vec{A},$ поэтому гамильтониан Минковского равен ${ЧАС}_{М} "=" \frac{({\vec{п}}_{М} - д \vec{А})^{2}}{2 м} + д ф_{М} .$ $H_M~=~ \frac{(\vec{p}_M-q\vec{A})^2}{2m}+q\phi_M.$ Этот гамильтониан появляется в факторе Больцмана статистической суммы в статистической физике.
Соответствующий оператор Гамильтона в представлении Шредингера имеет вид
$\begin{matrix} (9.1) & {\hat{ЧАС}}_{М} "=" \frac{(\frac{ℏ}{я} \vec{\nabla} - д \vec{А})^{2}}{2 м} + д ф_{М} . \end{matrix}$ $\hat{H}_M~=~ \frac{(\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}-q\vec{A})^2}{2m}+q\phi_M. \tag{9.1}$
Мы также можем выполнить вращение фитиля к евклидову лагранжиану
$\begin{matrix} (9.4) & л_{Е} "=" \frac{м}{2} {(\frac{д \vec{р}}{д т_{Е}})}^{2} - я д \vec{А} \cdot \frac{д \vec{р}}{д т_{Е}} - я д ф_{Е}, \end{matrix}$ $L_E~=~\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt_E}\right)^2 -i q \vec{A}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt_E}-iq\phi_E, \tag{9.4}$ следуя правилам, изложенным, например, в этом сообщении Phys.SE.
Ради интереса выполним преобразование Лежандра евклидовой формулировки. Евклидов импульс равен
${\vec{п}}_{Е} "=" м \frac{д \vec{р}}{д т_{Е}} - я д \vec{А},$ $\vec{p}_E~=~ m\frac{d\vec{r}}{dt_E}-iq\vec{A},$ поэтому евклидов гамильтониан равен ${ЧАС}_{Е} "=" \frac{({\vec{п}}_{Е} + я д \vec{А})^{2}}{2 м} + я д ф_{Е} .$ $H_E~=~ \frac{(\vec{p}_E+iq\vec{A})^2}{2m}+iq\phi_E.$

лалала · Answer 2

Преобразование Лежандра почти правильно выполнено в вопросе. $x$ следует заменить на $\dot{\phi}$ . Книга запрашивает лагранжиан в интеграле пути воображаемого времени, полученном из гамильтониана. Это может быть разным. (Хотя в книге упоминается, что это можно сделать с помощью преобразования Лежандра, я считаю, что это более тонко).

Вычисление лагранжиана из гамильтониана 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

сужение

Любопытный Разум

сужение

сужение

Ответы (2)

Qмеханик

лалала

Канонический формализм в координатах светового конуса

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Гамильтонов формализм массивного векторного поля

Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

Что такое лагранжиан уравнения Паули?

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Гамильтониан для частицы с центральной силой