Как по лагранжиану рассчитать гамильтониан для нерелятивистской заряженной точечной частицы в электромагнитном поле?

Мне дали уравнение Лагранжиана:

л   "="   1 2 м Икс ˙ 2 + е с Икс ˙ → ⋅ А → ( Икс → , т ) − е ф ( Икс → , т ) .
Я продолжил использовать уравнение:
ЧАС   "="   ∑ я д я ˙ ∂ л ∂ д я ˙ − л
чтобы получить гамильтониан как:
ЧАС   "="   1 2 м Икс ˙ 2 + е ф ( Икс → , т ) ,
но в тексте гамильтониан дается как:
ЧАС ^   "="   1 2 м ( ℏ я ∇ − е с А → ) ⋅ ( ℏ я ∇ − е с А → ) + е ф
Итак, почему и где я ошибся?

Помните, что ЧАС является функцией п , нет Икс ˙ . Ваше решение написано не в той форме. Ответ, который вы одобрили, делает это.

Ответы (1)

Чтобы сделать правильный ответ более ясным, позвольте мне ввести канонический импульс п → , предоставленный:

п → "=" ∂ л ∂ Икс ˙
Таким образом, мы можем переписать гамильтониан как:
ЧАС "=" п → ⋅ Икс ˙ → − л
Начнем с вычислений п → :
п → "=" ∂ л ∂ Икс ˙ "=" м Икс ˙ → + е с А → ( Икс → , т )
И вы получаете:
ЧАС "=" м Икс ˙ 2 + е с Икс → ⋅ А → − 1 2 м Икс ˙ 2 − е с Икс ˙ → ⋅ А → + е ф "=" 1 2 м Икс ˙ 2 + е ф
Но из выражения канонического импульса, которое мы нашли ранее, можно переписать Икс ˙ → как:
Икс ˙ → "=" 1 м ( п → − е с А → )
Такой, что:
Икс ˙ 2 "=" 1 м 2 | п → − е с А → | 2
Подставляем этот результат в ЧАС :
ЧАС "=" 1 2 м | п → − е с А → | 2 + е ф
Совершите переход к квантовой механике, продвигая классический импульс п → оператору п ^ "=" − я ℏ ∇ и вы сделали.

Примечание: − я "=" 1 я .
Как по лагранжиану рассчитать гамильтониан для нерелятивистской заряженной точечной частицы в электромагнитном поле?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v