Гарантирует ли лоренц-инвариантность уравнения движения лоренц-инвариантность решений?

Question

Гарантирует ли лоренц-инвариантность уравнения движения лоренц-инвариантность решений?

Физика
Лоренц-симметрия
нарушение симметрии
квантовая теория поля
уравнение Клейна-Гордона

Квантование

Если у меня есть лоренц-инвариантное уравнение движения, такое как уравнение Клейна-Гордона , гарантируется ли автоматически, что решение будет лоренц-инвариантным?

Я задаю этот вопрос из-за обсуждения из раздела 3 квантовой теории поля Марка Средненицкого от уравнений (3.11) до (3.14). Если у меня есть уравнение КГ,

\begin{matrix} (1) & \partial^{мю} \partial_{мю} ф - м^{2} ф "=" 0, \end{matrix}

$\tag 1 \partial^\mu\partial_\mu\phi -m^2\phi=0,$ имеем решение вида

\begin{matrix} (2) & опыт (я к \cdot Икс \pm я ю т), \end{matrix}

$\tag 2\exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \pm i\omega t),$ который, я не думаю, является лоренц-инвариантным для решения с

i k \cdot x + i ω t

$i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} + i\omega t$ в качестве аргумента, если только мы не позволим

k^{μ} = (- ω, k)

$k^\mu = (-\omega, \mathbf{k})$ .

Однако он начинает строить лоренц-инвариантное решение и приходит к

\begin{matrix} (3) & ф (Икс, т) "=" \int д \tilde{к} [а (к) е^{я к Икс} + а^{*} (к) е^{- я к Икс}], \end{matrix}

$\tag 3 \phi(\mathbf{x},t) = \int d\tilde{k}[ a(\mathbf{k})e^{ikx} + a^*(\mathbf{k})e^{-ikx}],$ где

k x = k \cdot x - ω t

$kx = \mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t$ .

d \tilde{k}

$d\tilde{k}$ является лоренц-инвариантной мерой, и аргумент каждого показателя также является лоренц-инвариантным.

Однако в начале он говорит, что $a(\mathbf{k})$ — произвольная функция волнового вектора $\mathbf{k}$ , что не кажется мне лоренц-инвариантным. Так что я не уверен, как $\phi(\mathbf{x},t)$ является лоренц-инвариантным.

ГЛС

нет. Когда этого не происходит, говорят о спонтанном нарушении симметрии . Также взгляните на этот ответ Qmechanic .

Квантование

так не является ли решение, построенное Средницким, лоренц-инвариантным, если мы допускаем произвольное a(k)?

Любопытный Разум

Было бы полезно, если бы вы явно показали, где, по вашему мнению, это нарушает ковариантность/инвариантность Лоренца, потому что я этого не вижу -

a (k)

$a(k)$ идет к

a (Λ^{- 1} k)

$a(\Lambda^{-1} k)$ при преобразовании Лоренца, но лоренц-инвариантность меры означает, что вы можете просто преобразовать область интегрирования обратно, чтобы по-прежнему иметь только

a (k)

$a(k)$ там.

Квантование

На самом деле, я считаю обратное преобразование области интеграции все еще проблематичным. Скажем, у меня есть

ϕ (x) \to ϕ (Λ^{- 1} x) = \int d \tilde{k} [a (Λ^{- 1} k) e^{i k x} + a^{*} (Λ^{- 1} k) e^{- i k x}] = \int d \tilde{k} [a (k) e^{i (Λ k) x} + a^{*} (k) e^{- i (Λ k) x}] = ? ϕ (x)

$\phi(x) \to \phi(\Lambda^{-1} x) = \int d\tilde{k}[ a(\Lambda^{-1}\mathbf{ k})e^{ikx} + a^*(\Lambda^{-1} \mathbf{k})e^{-ikx}] = \int d\tilde{k}[ a(\mathbf{k})e^{i(\Lambda k)x} + a^*(\mathbf{ k})e^{-i(\Lambda k)x}] =? \phi(x)$ .

Райан Унгер

@KyleLee: преобразование скалярного поля

ϕ^{'} (x) = ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi'(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$ . Тем не менее, я не знаю, что вы делаете неправильно.

Райан Унгер

@ACuriousMind: я в тупике. Как это показать

ϕ^{'} (x) = ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi'(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$ устраивает расширение стандартного режима в ОП?

Райан Унгер

@KyleLee: я вижу в Вайнберге следующее:

U (Λ) ф (Икс) U^{- 1} (Λ) "=" \int д \tilde{к} [а (Λ к) е^{я к (Λ Икс)} + hc] "=" \int д \tilde{к} [а (Λ (Λ^{- 1} к)) е^{я (Λ^{- 1} к) (Λ Икс)} + hc]

$U(\Lambda)\phi(x)U^{-1}(\Lambda)=\int d\tilde k[a(\Lambda k)e^{ik(\Lambda x)}+\text{h.c.}]=\int d\tilde k[a(\Lambda (\Lambda^{-1}k))e^{i(\Lambda^{-1}k)(\Lambda x)}+\text{h.c.}]$

"=" \int д \tilde{к} [а (к) е^{я к Икс} + hc] "=" ф (Икс)

$=\int d\tilde k[a(k)e^{ikx}+\text{h.c.}]=\phi(x)$

Квантование

@ 0celo7: Не знаю, как следует первое равенство. Если мы имеем

ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(\Lambda^{-1} x)$ , делает

Λ^{- 1}

$\Lambda^{-1}$ только трансформировать

x

$x$ , или

k

$k$ в то же время?

Райан Унгер

Я думаю, что это плохая нотация. Это не работает, когда мы рассматриваем поля как операторы, потому что моды (а) не зависят от x, а преобразуются.

Ответы (1)

Гарантирует ли лоренц-инвариантность уравнения движения лоренц-инвариантность решений?

нет. Когда этого не происходит, говорят о спонтанном нарушении симметрии . Также взгляните на этот ответ Qmechanic .
так не является ли решение, построенное Средницким, лоренц-инвариантным, если мы допускаем произвольное a(k)?
Было бы полезно, если бы вы явно показали, где, по вашему мнению, это нарушает ковариантность/инвариантность Лоренца, потому что я этого не вижу - $a(k)$ идет к $a(\Lambda^{-1} k)$ при преобразовании Лоренца, но лоренц-инвариантность меры означает, что вы можете просто преобразовать область интегрирования обратно, чтобы по-прежнему иметь только $a(k)$ там.
На самом деле, я считаю обратное преобразование области интеграции все еще проблематичным. Скажем, у меня есть $\phi(x) \to \phi(\Lambda^{-1} x) = \int d\tilde{k}[ a(\Lambda^{-1}\mathbf{ k})e^{ikx} + a^*(\Lambda^{-1} \mathbf{k})e^{-ikx}] = \int d\tilde{k}[ a(\mathbf{k})e^{i(\Lambda k)x} + a^*(\mathbf{ k})e^{-i(\Lambda k)x}] =? \phi(x)$ .
@KyleLee: преобразование скалярного поля $\phi'(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$ . Тем не менее, я не знаю, что вы делаете неправильно.
@ACuriousMind: я в тупике. Как это показать $\phi'(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$ устраивает расширение стандартного режима в ОП?
@KyleLee: я вижу в Вайнберге следующее: $U (Λ) ф (Икс) U^{- 1} (Λ) "=" \int д \tilde{к} [а (Λ к) е^{я к (Λ Икс)} + hc] "=" \int д \tilde{к} [а (Λ (Λ^{- 1} к)) е^{я (Λ^{- 1} к) (Λ Икс)} + hc]$ $U(\Lambda)\phi(x)U^{-1}(\Lambda)=\int d\tilde k[a(\Lambda k)e^{ik(\Lambda x)}+\text{h.c.}]=\int d\tilde k[a(\Lambda (\Lambda^{-1}k))e^{i(\Lambda^{-1}k)(\Lambda x)}+\text{h.c.}]$ $"=" \int д \tilde{к} [а (к) е^{я к Икс} + hc] "=" ф (Икс)$ $=\int d\tilde k[a(k)e^{ikx}+\text{h.c.}]=\phi(x)$
@ 0celo7: Не знаю, как следует первое равенство. Если мы имеем $\phi(\Lambda^{-1} x)$ , делает $\Lambda^{-1}$ только трансформировать $x$ , или $k$ в то же время?
Я думаю, что это плохая нотация. Это не работает, когда мы рассматриваем поля как операторы, потому что моды (а) не зависят от x, а преобразуются.

Гетеротический · Answer 1

В духе оригинального поста пусть $k,x$ быть 4-векторами и $\mathbf{k}$ , $\mathbf{x}$ пространственные компоненты. Тогда количество вида

ф (Икс) \propto \int д к [а (к) е^{я к Икс} + а^{*} (к) е^{- я к Икс}]

$\phi(x) \propto \int dk[ a(k)e^{ikx} + a^*(k)e^{-ikx}]$ является явно лоренц-инвариантным, поскольку не содержит явным образом свободных индексов Лоренца. Что делает Средненицкий, так это то, что он исполняет

k^{0}

$k^0$ интеграция, в результате чего

ф (Икс, т) "=" \int \frac{д к}{ф (к)} [а (к) е^{я к \cdot Икс} + а^{*} (к) е^{- я к \cdot Икс}],

$\phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{d\mathbf{k}}{f(\mathbf{k})}[ a(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} + a^*(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}],$ который включает только пространственные компоненты. Это выражение является лоренц-инвариантным, потому что это просто другая форма предыдущего, но оно явно не выглядит лоренц-инвариантным , что, как я предполагаю, вызывает путаницу. Для явного вида функции

f

$f$ что, конечно, будет связано с энергией, так как это интеграл по

k^{0}

$k^0$ , см., например, уравнение Пескина и Шредера (2.47).

РЕДАКТИРОВАТЬ: Еще одно обоснование:

Уравнение Клейна-Гордона

\partial^{мю} \partial_{мю} ф - м^{2} ф "=" 0.

$\partial^\mu\partial_\mu\phi -m^2\phi=0.$ Для ее решения преобразуем Фурье в импульсное пространство и получаем:

(п^{мю} п_{мю} - м^{2}) \tilde{ф} "=" 0.

$(p^\mu p_\mu -m^2)\tilde\phi=0.$ Общее решение этого уравнения

\tilde{ф} (п) "=" а (п) дельта (п^{мю} п_{мю} - м^{2}),

$\tilde\phi(p)=a(p)\delta(p^\mu p_\mu -m^2),$ что означает, что общее решение для Клейна-Гордона:

ф (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{4}} \int д^{4} п е^{я п Икс} \tilde{ф} (п) "=" \frac{1}{(2 π)^{4}} \int д^{4} п е^{я п Икс} а (п) дельта (п^{мю} п_{мю} - м^{2})

$\phi(x)=\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4pe^{ipx}\tilde\phi(p)=\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4pe^{ipx}a(p)\delta(p^\mu p_\mu -m^2)$ который явно лоренц-инвариантен. Затем вы можете выполнить

p^{0}

$p^0$ интегрирование, как заявлено выше. Я везде игнорировал комплексно-сопряженный термин, но его восстановление должно быть тривиальным...

Как насчет $k^0$ в аргументе показателей ? Почему они все еще рядом?
@KyleLee: они помещаются в массовую оболочку: $k^0=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$ .
Что ж, одна вещь, которая меня все еще смущает, это то, что я чувствую, что f (k) должна быть правильно установлена, чтобы сделать инвариантным Лоренца все, а не только меру. Я не понимаю, как коэффициенты не играют никакой роли в определении f (k), если я интегрирую первый интеграл.
@KyleLee: Меня больше беспокоит первое уравнение. Что значит $a(k)$ иметь в виду? Означает ли это, что он имеет $k^0$ зависимость? Я не могу припомнить, чтобы видел это дополнение раньше. Обычно это $d\mathbf{k}$ один.
я думал тебе этого не хватает $\delta(p^2-m^2)$ фактор.
@Heterotic: опять же, не следует интегрировать $p^0$ давать $f(p)$ это зависит от $a(p)$ ?
@KyleLee: В школе я сделал снимок: gyazo.com/ed1844d7413ff428cb54b52b7ebac104 . Дельта-функция просто ставит $p^0$ на массовой оболочке нет $p^0$ интеграл по $a$ .
@KyleLee: Некоторые авторы масштабируют $a$ так что появляется единица над квадратным корнем энергии, а не единица над энергией. Чуть лучшее разрешение: imgur.com/Z07DtEY

Гарантирует ли лоренц-инвариантность уравнения движения лоренц-инвариантность решений?

Квантование

ГЛС

Квантование

Любопытный Разум

Квантование

Райан Унгер

Райан Унгер

Райан Унгер

Квантование

Райан Унгер

Ответы (1)

Гетеротический

Квантование

Райан Унгер

Квантование

Квантование

Райан Унгер

Квантование

Райан Унгер

Квантование

Райан Унгер

Райан Унгер

Квантование

Являются ли бозоны Голдстоуна обязательно частицами со спином 0?

Преобразование скалярного поля под Лоренц Буст [закрыто]

Спонтанное нарушение симметрии спинорного / векторного поля [дубликат]

Почему говорят, что ненулевой VEV для спинорного поля нарушает лоренц-инвариантность?

Что физически означает нарушение мягкой симметрии?

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Эволюция скалярного поля во времени

Что мы имеем в виду, когда говорим, что Хофт доказал перенормируемость Стандартной модели?

Представляют ли оператор симметрии UUU и его генератор QQQ, действующие на вакуум |0⟩|0⟩|0\rangle, новый вырожденный вакуум?