Почему говорят, что ненулевой VEV для спинорного поля нарушает лоренц-инвариантность?

Рассмотрим спинорное поле ψ ( Икс ) . Его вакуумное математическое ожидание определяется выражением

в "=" ⟨ 0 | ψ ( Икс ) | 0 ⟩ .
Используя тот факт, что вакуум инвариантен относительно преобразования Лоренца, мы получаем,
в "=" ⟨ 0 | ψ ( 0 ) | 0 ⟩ .
Почему так, если в ≠ 0 , лоренц-инвариантность нарушена?

Ответы (2)

The в вы пишете, что это спинор , а не скаляр. Ненулевой спинор, очевидно, не инвариантен относительно преобразований Лоренца, поэтому ненулевой спинорный VEV нарушает лоренц-инвариантность одноточечной функции.

@ACM Но это одноточечные функции, связанные с измеримыми величинами. Верно? Формула приведения LSZ не содержит 1-точечной функции (но н -точечные функции вообще с н > 1 ) и, следовательно, не связан с амплитудой рассеяния. Я ошибаюсь? Итак, если одноточечные функции неизмеримы, должно ли это кого-то волновать?
@SRS вывод формулы LSZ явно предполагает, что в ≡ 0 .
@AccidentalFourierTransform Хм. Но если одноточечные функции не инвариантны по Лоренцу, как это делает (предсказания) теории проблематичной?
@SRS, потому что если в не является инвариантом, то U ( Λ ) не может существовать (как в моем ответе ниже), а значит, преобразования Лоренца не являются симметрией теории (и, в частности, С матрица).

Чтобы сделать аргумент ACM более явным, рассмотрим

в "=" ⟨ 0 | ψ | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | U U † ⏞ 1 ψ U U † ⏞ 1 | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | U ⏞ ⟨ 0 | U † ψ U ⏞ Д Λ ψ U † | 0 ⟩ ⏞ | 0 ⟩ "=" Д Λ в
где U "=" U ( Λ ) — унитарный оператор, соответствующий преобразованиям Лоренца в гильбертовом пространстве, и Д Λ его представление в пространстве спиноров.

Учитывая Λ быть, скажем, вращение вокруг г ось с углом θ , и расширяя до первого порядка в θ , мы получаем

С г в "=" 0
что невозможно для представлений группы Лоренца с полуцелым спином, так как С г имеет собственные значения
− Дж , − Дж + 1 , ⋯ , + Дж
ни один из которых не равен нулю.

Следовательно, мы должны заключить, что U ( Λ ) не существует, то есть симметрия Лоренца нарушена.

Но как ты это С г в "=" 0 ? Я не вижу расширения до 1-го порядка, чтобы доказать это
@Вики Д Λ "=" е я θ С г , так расширяется Д Λ в "=" в на первый заказ в θ мы получаем С г в "=" 0 .
Почему говорят, что ненулевой VEV для спинорного поля нарушает лоренц-инвариантность?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v