Гармонический осциллятор - квантование энергии

Одномерный квантовый HO можно решить в представлении Шредингера, получив дифференциальное уравнение Эрмита.

д 2 у д Икс 2 − 2 Икс д у д Икс + λ у "=" 0
с решениями
у ( Икс ) "=" ЧАС н ( Икс )
что верно для целых значений λ . В случае нецелых значений λ решения задаются гипергеометрическими функциями

у ( Икс ) "=" с 1 ЧАС λ 2 ( Икс ) + с 2 1 Ф 1 ( − λ 4 ; 1 2 ; Икс 2 )
и кажется, что эти функции не интегрируются с квадратом и, следовательно, недействительны/физически приемлемые волновые функции.

С этой точки зрения я склонен понимать, что квантование появляется только как особенность ограничения решений целочисленными значениями, которые только и могут быть интегрируемы с квадратом.

Я с нетерпением жду объяснений, касающихся этого аспекта, поскольку существует так много случаев, когда встречаются полиномиальные решения (которые являются решениями для некоторого целого значения собственного значения в дифференциальном уравнении). (Например, растворы атома водорода).

PS: В случае потенциала бесконечной прямоугольной ямы квантование энергии, по-видимому, происходит из граничных условий. Итак, какова аналогия с этим в случае с гармоническим осциллятором и атомами водорода.

Ответы (2)

Если функция является решением уравнения Шредингера, то это решение. Прилагательное «действительный» в такой ситуации кажется не очень полезным.

Слово «действительный» лучше использовать в «действительном решении проблемы собственных значений», которое имеет некоторые дополнительные требования к решению задачи Шра. уравнение - чаще всего требуется, чтобы функция убывала до нуля на бесконечности или чтобы она была интегрируемой, например, чтобы сделать ее восприимчивой к интерпретации Борна | ψ | 2 .

Таким образом, только некоторые решения системы Schr. уравнения также являются решениями задачи на собственные значения; они также должны удовлетворять заданным граничным условиям и нормировке, которые рассматриваются как часть проблемы собственных значений. Ситуация несколько аналогична ситуации в механике: не все решения уравнений движения интересны; только те, которые удовлетворяют заданным начальным условиям.

Я сожалею об этом, я имел в виду не квантово-механически приемлемую волновую функцию !! Я внес некоторые изменения. Спасибо !!
Итак, в этом случае граничное условие ограничивает решения целыми значениями?
@ user35952 да. Без граничных условий у вас есть общее решение для любого λ , он имеет два свободных параметра. Когда вы накладываете граничные условия, один из этих параметров используется для удовлетворения одного граничного условия, а другой является коэффициентом нормализации. Чтобы удовлетворить второму граничному условию, вы должны ограничить λ к некоторому спектру значений.
Итак, можем ли мы сказать, что квантование системы в целом всегда происходит из-за граничного условия.
@user35952 user35952 Обычно квантование отображается как свойство выбранного вами оператора. Когда вы определяете оператор, вы должны определить его домен и, следовательно, граничные условия. Собственные векторы этого оператора являются решениями стационарного уравнения Шредингера. Если спектр оператора имеет дискретную часть, то у вас есть некоторые квантованные состояния.
Дискретное индексирование может иметь место только для некоторой части спектра. Для атома водорода спектр дискретен только для отрицательных энергий. Для положительных энергий существуют непрерывно индексируемые положительные собственные значения, связанные с неправильными собственными функциями - функциями, которые удовлетворяют уравнению Шредингера, но не условию нормализации. Они также важны для получения хорошей обобщенной основы для выражения интегрируемых функций.
@ JánLalinský: Хорошо, спасибо, что напомнили об этой части, похоже, это верно для любой такой связанной системы, которая может стать свободной на некотором расстоянии.

В данном случае именно квадратичная интегрируемость, а не граничные условия, ограничивает набор собственных значений.

Не является ли сама квадратичная интегрируемость способом граничного условия. то есть | ψ ( Икс ) | 2 → 0 как Икс → ∞ .
Я так не думаю. Квадратичная интегрируемость не обязательно означает, что |ψ(x)|^2→0 при x→∞. Подумайте о функции, которая обращается в нуль везде, кроме положительных целых чисел n и небольшого интервала I_n вокруг них, где она имеет значение 1. Если длина I_n стремится к 0 достаточно быстро при n → ∞, то функция интегрируема с квадратом, но не стремится к 0.
Гармонический осциллятор - квантование энергии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v