Есть ли интуитивное объяснение тому факту, что решения независимого от времени уравнения Шредингера образуют полный базис?

«Нестационарное уравнение Шредингера» — это просто уравнение для собственных значений и собственных векторов оператора Гамильтона в гильбертовом пространстве состояний (обычно$L^2(\mathbb{R}^3,\mathrm{d}x)$, «пространство волновых функций»)

Спектральная теорема говорит нам, что собственные векторы любого самосопряженного оператора образуют основу пространства, в котором живет оператор, поэтому, пока ваш гамильтониан является самосопряженным, это будет выполняться. (Следует соблюдать осторожность - гамильтонианы, используемые в физике, могут быть только по существу самосопряженными или просто эрмитовыми)

Так что ничего особенного в «стационарном уравнении Шредингера» нет — собственные векторы других самосопряженных наблюдаемых тоже образуют такие базисы. Для этого не существует «интуиции», потому что это просто общее следствие того факта/аксиомы, что квантово-механические наблюдаемые обычно являются самосопряженными. Вы также можете выбрать самосопряженные операторы, которые не моделируют никаких физических наблюдаемых, и вы все равно получите это.

Это математическая теорема о том, что самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве имеют полный спектр.

Обратите внимание, что «самосопряженный» имеет особое математическое значение. Не всякий эрмитов симметрический оператор самосопряжен. Например, одномерный свободный гамильтониан Шредингера на открытом интервале без граничных условий не является самосопряженным. Причина в том, что мы можем выбирать периодические граничные условия с разными фазовыми сдвигами. Различные варианты определяют разные самосопряженные операторы с разными собственными функциями и собственными значениями. Некоторые потенциалы не определяют самосопряженные гамильтонианы Шрёдингера. Может быть трудно доказать, делает ли данный потенциал это.