Производная по времени вектора состояния, выраженного в абстрактном гильбертовом пространстве, в сравнении с волновой функцией

я впредь предполагаю$\hbar=1$. Правильный способ думать об уравнении Шредингера в гильбертовом пространстве$\cal H$(имеется в виду самосопряженный гамильтониан$H : D(H) \to \cal H$, с$D(H)\subset \cal H$плотное подпространство) - это то, где производная по времени относится к топологии гильбертова пространства (как правильно замечено в начале опубликованного вопроса):

$$\frac{d}{dt} \psi_t = -i H \psi_t\tag{1}\:.$$

Выше$\psi_t := e^{-itH} \psi$а также$\psi \in D(H)$. Это последнее требование гарантирует, что$\psi_t \in D(H)$для каждого$t \in \mathbb R$и что$t$производная$\frac{d}{dt} \psi_t$существует в смысле топологии гильбертова пространства и, наконец, выполняется (1).

Однако наивная интерпретация уравнения Шредингера предполагает, что$t$-производная в стандартном смысле для волновой функции$\psi=\psi(t,x)$достаточно гладкой по обеим переменным, а само уравнение интерпретируется в смысле стандартного УЧП, полагая, что$H$является (надеюсь, единственным) самосопряженным расширением дифференциального оператора$H_x = -\frac{1}{2m} \Delta_x + V(x)$с$V$по крайней мере непрерывно:

$$\frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x) = -i H_x \psi(t,x)\tag{2}\:.$$

Эта вторая интерпретация в общем случае несостоятельна по разным причинам. В частности, неверно, что все решения (1) решают (2), потому что волновые функции, решающие (1), являются элементами$D(H) \subset {\cal H} = L^2(\mathbb R^3, dx)$и, таким образом, (а) они определены до множества нулевой меры и (б), вообще говоря, невозможно получить непрерывную функцию, меняющую исходную на множестве нулевой меры. (Причина в том, что самосопряженное расширение$H$из$H_x$перестает быть дифференциальным оператором.)

Однако может случиться так, что будет найдено решение (2)$\psi=\psi(t,x)$который дифференцируем в$t$для каждого$x$и достаточно регулярно в$x$в зависимости от регулярности$V$для того, чтобы принадлежать$D(H_x)\subset D(H)$. Делает$\psi$решить (1)?

Единственное, что нужно проверить, это если почти везде в$x$и для данного$t \in \mathbb R$,

$$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)\:.\tag{3}$$

У нас есть пара элементарных фактов:

(A) Если обе части (3) существуют, а правая часть принадлежит$L^2(\mathbb R^3, dx)$, (3) имеет место .

(Б) Если есть$\epsilon>0$а также$g_{t} \in L^2(\mathbb R^3, dx)$, с

$$\left|\frac{\partial}{\partial \tau} \psi(\tau,x)\right| \leq |g_{t}(x)|\quad \mbox{almost everywhere in $x$, } \forall \tau \in (t-\epsilon, t+\epsilon)$$ тогда левая часть (3) существует (и (3) верно для (А)) .

ПРИЛОЖЕНИЕ .

ЭСКИЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Что касается (А), поскольку$t$производная существует в смысле топологии гильбертова пространства, мы знаем, что

$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) - \frac{d \psi_t(x)}{dt}\right|^2 dx=0$$ Известный результат $L^p$Теория пространств говорит, что если $f_n \to f$в качестве $n\to +\infty$в $L^p$, существует подпоследовательность с $f_{n_k} \to f$ почти везде как $k \to +\infty$. Поэтому существует последовательность $h_k \to 0$в качестве $k\to +\infty$, так что почти везде в $x$, $$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{d \psi_t(x)}{dt}\:.\tag{4}$$ С другой стороны, мы знаем, что именно потому, что $\frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}$существует, для каждого $x$у нас также есть $$\frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $h\to 0$}.$$ Поэтому, в частности, снова для каждого $x$, $$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $k\to \infty$}\:.\tag{5}$$ Сравнивая (4) и (5), заключаем, что выполняется (А): $$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)$$ почти везде в $x$. Так что (А) верно.

Что касается (B), то необходимо доказать, что:

$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2dx =0\:.\tag{6}$$ Теорема Лагранжа позволяет нам переписать интеграл как: $$\int \left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 dx$$ куда $t_{x,h} \in [t-h,t+h]$. В наших гипотезах мы также имеем, что: $$\left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 \leq 2|g_t(x)|^2$$ почти везде в $x$и для всех достаточно малых $h$. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости подразумевает, что символы интеграла и символа предела можно поменять местами в правой части (6), получив $$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx$$ $$= \int \lim_{h\to 0}\left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx =0\:,$$ как хотел.