ВКБ-аппроксимация в двух измерениях

Question

ВКБ-аппроксимация в двух измерениях

Быть

Кто-нибудь знает, как реализовать приближение ВКБ для двумерного уравнения Шрёдингера с потенциалом гармонического осциллятора:

\frac{1}{2} [- (\frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial у^{2}}) + {Икс}^{2} + у^{2} + 2 Икс у] ψ (Икс, у) "=" Е ψ (Икс, у) .

$\frac{1}{2}\Biggl[-\biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\biggr)+x^2 + y^2 + 2xy\Biggr]\psi(x,y) = E\psi(x,y).$

Кайл Канос

Physics.StackExchange не является сайтом помощи в выполнении домашних заданий. Если у вас есть вопрос о проблеме с домашним заданием или о любой проблеме образовательного характера, сузьте его до конкретной концепции, которая вызывает у вас затруднения, и спросите об этом. Вы можете найти больше информации о допустимых домашних заданиях на нашем мета-сайте.

Джим

Это было когда-то с тех пор, как вы спросили об этом, но обратите внимание, что потенциальный термин

x^{2} + 2 x y + y^{2} = r^{2}

$x^2 + 2 xy + y^2 = r^2$ . Вероятно, тогда вам придется написать

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}

$\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ в плоских полярных координатах.

Ответы (1)

ВКБ-аппроксимация в двух измерениях

Physics.StackExchange не является сайтом помощи в выполнении домашних заданий. Если у вас есть вопрос о проблеме с домашним заданием или о любой проблеме образовательного характера, сузьте его до конкретной концепции, которая вызывает у вас затруднения, и спросите об этом. Вы можете найти больше информации о допустимых домашних заданиях на нашем мета-сайте.
Это было когда-то с тех пор, как вы спросили об этом, но обратите внимание, что потенциальный термин $x^2 + 2 xy + y^2 = r^2$ . Вероятно, тогда вам придется написать $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ в плоских полярных координатах.

Qмеханик · Answer 1

Подсказка: поверните систему координат $45^{\circ}$ :

\begin{matrix} (1) & {Икс}_{\pm} "=" \frac{Икс \pm у}{\sqrt{2}} . \end{matrix}

$x_{\pm}~:=~\frac{x\pm y}{\sqrt{2}}.\tag{1}$

Затем ТИСЭ разделяется на (одномерный гармонический осциллятор) $\times$ (1D свободная частица):

\begin{matrix} (2) & (- \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}_{+}^{2}} + {Икс}_{+}^{2} - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}_{-}^{2}}) ψ ({Икс}_{+}, {Икс}_{-}) "=" Е ψ ({Икс}_{+}, {Икс}_{-}), \end{matrix}

$\left(-\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x_+^2} +x_+^2-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_-^2}\right)\psi(x_+,x_-) ~=~E\psi(x_+,x_-),\tag{2}$ которое можно решить точно. Нет необходимости в приближениях ВКБ.

ВКБ-аппроксимация в двух измерениях

Быть

Кайл Канос

Джим

Ответы (1)

Qмеханик

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Гармонический осциллятор, модифицированный бесконечной ямой: возможны ли аналитические решения?

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Является ли потенциал гармонического осциллятора уникальным наличием равноотстоящих дискретных энергетических уровней?

Конечная, квадратная, потенциальная яма

Решение квантового радиального уравнения для бесконечного потенциального сферического кольца при l=0l=0l=0