Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора

Прежде всего следует вспомнить, что уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения. Если вы не знакомы с уравнениями собственных значений, вам следует как можно скорее обратиться к любой книге или курсу по математике.

Ответ 1 (извините, я буду использовать свои собственные обозначения, так как это в основном копипаста из моих старых заметок):

Сначала определите константы

$$\begin{equation} x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} , \end{equation}$$ $$\begin{equation} p_0 = \frac{\hbar}{x_0} = \sqrt{\hbar m \omega} , \end{equation}$$ и безразмерные операторы $$\begin{equation} \hat{X} = \frac{1}{x_0} \hat{x} , \end{equation}$$ и $$\begin{equation} \hat{P} = \frac{1}{p_0} \hat{p} . \end{equation}$$

Тогда их коммутационное соотношение равно

$$\begin{equation} \left[ \hat{X} , \hat{P} \right] = \left[ \frac{1}{x_0}\hat{x} , \frac{1}{p_0}\hat{p} \right] = \frac{1}{x_0 p_0} \left(\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} \right) = \frac{1}{x_0 p_0} \left[ \hat{x} , \hat{p} \right] = \frac{i\hbar}{x_0 p_0} = i , \end{equation}$$ как $$\begin{equation} x_0 p_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \sqrt{\hbar m\omega} = \hbar . \end{equation}$$

Теперь запишите гамильтониан в терминах$\hat{X}$и$\hat{P}$. Начните с

$$\begin{equation} \hat{H} = \frac{p_0 ^2}{2m} \hat{P} ^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 x_0 ^2 \hat{X}^2 . \end{equation}$$

Заметить, что

$$\begin{equation} p_0 ^2 = \hbar m \omega \end{equation}$$ и $$\begin{equation} x_0 ^2 = \frac{\hbar}{m \omega} , \end{equation}$$ следовательно $$\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hbar \omega}{2} \hat{P}^2 + \frac{\hbar \omega}{2} \hat{X}^2 = \frac{\hbar \omega}{2} \left(\hat{X}^2 + \hat{P}^2 \right). \end{equation}$$

С точностью до коммутационного соотношения мы можем написать

$$\begin{equation} \left(X^2 + P^2 \right) = \left(X - iP \right) \left(X + iP \right) . \end{equation}$$

С другой стороны, для операторов это не совсем допустимо, т.к.

$$\begin{align} \left(\hat{X} - i\hat{P} \right) \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) &= \hat{X}^2 + i\hat{X}\hat{P} - i\hat{P}\hat{X} + \hat{P}^2 \nonumber \\ &= \hat{X}^2 +i \left(\hat{X}\hat{P} - \hat{P}\hat{X}\right) + \hat{P}^2 \\ &= \hat{X}^2 + i \left[ \hat{X} , \hat{P} \right] + \hat{P}^2 = \hat{X}^2 + \hat{P}^2 - 1 \nonumber , \end{align}$$ так у одного есть $$\begin{equation} \left(\hat{X}^2 + \hat{P}^2 \right) = \left(\hat{X} - i\hat{P} \right) \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) + 1 . \end{equation}$$

Теперь мы можем определить

$$\begin{equation} \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) , \end{equation}$$ и $$\begin{equation} \hat{a}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{X} - i\hat{P} \right), \end{equation}$$ вызов этого оператора создания и $\hat{a}$- оператор уничтожения. Обратите внимание, что теперь мы можем выразить гамильтониан в терминах операторов рождения и уничтожения: $$\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hbar\omega}{2} \left(\sqrt{2} \hat{a} ^\dagger \sqrt{2} \hat{a} + 1 \right) = \hbar \omega \left(\hat{a} ^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right) . \end{equation}$$

Но мы также можем определить числовой оператор,$\hat{N} = \hat{a} ^\dagger \hat{a}$, так что наконец получить

$$\begin{equation} \hat{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2} \right) . \end{equation}$$

Теперь немного отойдем в сторону и рассмотрим операторы создания и уничтожения. По определению,

$$\begin{equation} \hat{a}^\dagger \left| n \right\rangle = \sqrt{n + 1} \left| n + 1 \right\rangle , \end{equation}$$ $$\begin{equation} \hat{a} \left| n \right\rangle = \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle , \end{equation}$$ где $\left| n \right\rangle$является собственным состоянием операторов рождения и уничтожения, а также гамильтониана (из-за того, что они коммутируют - домашнее задание доказать).

Сейчас

$$\begin{equation} \hat{a}^\dagger\hat{a} \left| n \right\rangle = \hat{a}^\dagger \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle = \sqrt{n} \sqrt{n} \left| n \right\rangle = n \left| n \right\rangle , \end{equation}$$ поэтому сделайте вывод, что собственное значение числового оператора, $\hat{N}$, просто $n$, поэтому, если мы теперь применим гамильтониан в уравнении Шрёдингера, получим

$$\begin{equation} \hat{H} \psi = E \psi , \end{equation}$$ $$\begin{equation} E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right) , \end{equation}$$ это именно тот результат, который вы искали.

Ответ 2:

Прежде всего, вы должны помнить, что общая цель решения проблемы собственных значений состоит в том, чтобы найти набор собственных векторов, а не один собственный вектор. В вашем случае уравнение должно быть изменено на

$$\begin{equation} \frac{d^2 \psi_n}{dx^2} + \left[(2n + 1) - \varepsilon^2\right]\psi_n = 0 , \end{equation}$$ где $\psi_n$являются собственными векторами (собственными функциями), которые соответствуют собственным значениям $E_n$. Попробуйте немного подумать и объяснить физический смысл множества собственных значений энергии в квантовой механике.

Теперь вернемся к общей теории уравнений на собственные значения. Хотя я никогда не встречал уравнения, которое вы написали, я не могу найти ни одного места, где оно может быть неправильным, кроме только что указанного. Хотя, я не вижу, как далеко вы можете уйти от этого.

Ответ 3:

Полиномы Эрмита обычно выходят за рамки стандартных курсов квантовой механики. Если вы знаете полиномы Лежандра, Чебышева и/или другие полиномы, то можете догадаться, что полиномы Эрмита выводятся как решение некоторого дифференциального уравнения, и это не противоречит определению$\psi$.

Как я уже упоминал, полиномы Эрмита обычно выходят за рамки стандартных курсов квантовой механики. Обычно вы не должны выводить их на этом уровне. Однако, если вы все еще заинтересованы, вы можете проконсультироваться с Google или задать другой вопрос здесь.

Надеюсь, теперь на ваши вопросы даны исчерпывающие ответы. Однако, если вам нужны какие-либо дополнительные комментарии - милости просим.