Где энергия теряется в пружине?

Вы упускаете один тонкий момент в своем анализе. Блок слева на вашей диаграмме, где пружина находится в положении равновесия, движется, поэтому у него есть кинетическая энергия (которую вы сейчас игнорируете). Я оставлю это вам, чтобы разобраться, какой должна быть скорость, и проверить, что CoE держится.

Он должен двигаться, потому что если бы он не двигался, то должна быть какая-то сила (ваша рука?), удерживающая его на месте. Это будет считаться внешней силой, и когда действует такая сила, CoE не выполняется.

«Недостающая» энергия, о которой вы говорите, фактически покинула систему блок-пружина, когда внешняя сила взаимодействовала с блоком. Один из способов думать об этом заключается в следующем.

Теорема о работе и кинетической энергии говорит нам, что, поскольку KE блока не изменяется в процессе опускания, чистая работа, выполненная над блоком, равна 0:

$$W_{net}=\Delta \mathrm{KE}=0,$$ но чистая работа, выполненная над блоком, может быть записана как $$W_{net}=W_{grav}+W_{spring}+W_{external}.$$ Гравитация, пружина и внешний агент (т.е. моя рука) совершают работу над блоком, и их сумма должна быть равна 0, поскольку КЕ не изменилась. Гравитация совершает положительную работу, так как перемещение происходит в том же направлении, что и сила тяжести. Пружина и внешний агент совершают отрицательную работу, так как их силы приложены в направлении, противоположном перемещению: $$W_{grav}=mgx=\frac{m^2g^2}{k}.$$ Работа, совершаемая пружиной, равна минус количеству полученной потенциальной энергии (другими словами, пружина совершает отрицательную работу над блоком, блок совершает положительную работу над пружиной), поэтому $$W_{spring}=-\frac{1}{2}kx^2=-\frac{m^2g^2}{2k},$$ и тогда из теоремы о кинетической энергии работы мы имеем $$0=W_{grav}+W_{spring}+W_{external}\implies W_{external}=-\frac{m^2g^2}{k}+\frac{m^2g^2}{2k}=-\frac{m^2g^2}{2k}.$$ Таким образом, внешний агент совершает отрицательную работу над пружиной (или пружина совершает положительную работу над внешним агентом), что точно объясняет ту энергию, которую вы заметили, которая «отсутствовала».

Представьте, что вы продлеваете весну из$x_0$до x, добавляя вес, а не нажимая рукой. Это поможет проиллюстрировать, почему COE работает только в том случае, если вы принимаете во внимание все соответствующие силы.

Итак, вы добавляете груз массой М к исходной установке. Ваше новое положение равновесия — это когда сила тяжести = сила пружины.

Гравитация => F=mg + Mg (m — исходная масса блока, M — дополнительная).

Spring => F=kx, так что...

кх = мг+мг

( кстати, я не думаю, что вы можете сказать, что kx=mg, как вы это делаете, силы mg недостаточно, чтобы удерживать пружину растянутой в точке x, mg возвращает вас к x0, исходному растяжению )

Но как мы пришли к этому? Интуитивно вы знаете, что если я добавлю груз массой M, система начнет двигаться, она должна двигаться, чтобы достичь нового расширения. Следовательно, теперь есть Кинетическая Энергия, что означает, что мы находимся в чудесном мире гармонического движения, если что-то не остановит нас...

Но ваш сценарий не движется (вы четко указываете это в своем вопросе). Итак, что-то случилось, чтобы остановить систему. Нас остановила внешняя сила (например, потери на трение с течением времени).

Это ваша недостающая энергия. Как указывал другой ответ, внешний элемент (например, рука + рука + плечо и т. д.) проделал работу, чтобы остановить блок в расширении X. Или со временем кинетическая энергия была потеряна из-за трения. В любом случае, он исчезает или хранится во внешней потенциальной энергии (см. ниже).

Другой способ подумать об этом — представить, что у вас есть стальной стержень, удерживающий вес — так что нет руки, нет нового веса. В этом сценарии у вас будет потенциальная энергия, запасенная в стержне, который слегка согнется.