Если струна растягивается только под действием веса, то куда девается гравитационная потенциальная энергия, если только половина превращается в упругую потенциальную энергию?

Если вы прикрепите вес и позволите ему упасть, он упадет и наберет кинетическую энергию, превысит точку равновесия, замедлится, изменит направление, а затем снова и снова будет совершать цикл. Чтобы когда-либо достичь равновесия, энергия должна рассеяться в виде тепла за счет сопротивления воздуха, трения в пружине и т. д.

Это тонкий вопрос. Блок должен двигаться квазистатически, чтобы его кинетическая энергия оставалась равной нулю, и по этой причине нам потребуется внешняя сила F. Эта сила также совершит отрицательную работу над блоком, уменьшив его изменение GPE наполовину, которое хранится в весна. Если бы процесс не был квазистатическим, блок имел бы скорость после прохождения некоторого расстояния, и на ваш вопрос дан ответ, поскольку тогда вам также нужно взять кинетическую энергию. Обратите внимание, что F не является постоянной силой, потому что она должна противодействовать действию силы тяжести, а также изменяющейся силе пружины.

Посмотрите на силу$F$против расширения$x$график для пружины.
Это прямой график, проходящий через начало градиента.$k$жесткость пружины и$F=kx$.
Работа, совершаемая внешней силой$F$растянуть пружину из нерастянутого состояния,$x=0$пока не появится расширение$x_o$является$\displaystyle \int_0^{x_o} F dx = \int_0^{x_o} kx \;dx = \frac 1 2 k x^2$
Перефразируй.
Средняя сила при растяжении равна$\dfrac {kx_o} {2}$поэтому работа внешней силы равна$\dfrac {kx_o} {2} \; x_o = \dfrac {kx_o^2} {2}$

Теперь, когда вы добавляете массу$m$до конца пружины эта масса имеет постоянный вес$mg$и поэтому потенциально может оказывать постоянную силу на пружину.
Вы можете воспроизвести анализ, сделанный выше, с силой на пружине, которая изменяется при растяжении пружины путем приложения направленной вверх силы.$F_{up}$на массу так, чтобы результирующая сила, действующая на пружину$F = mg - F_{up}$и тогда вы получите, что энергия, запасенная в пружине, равна$\dfrac 1 2 k x^2$так как работа над пружиной равна$\displaystyle \int_0^{x_o} (mg - F_{up}) \; dx = mg\;x_o + \left[ - \int_0^{x_o} F_{up} \; dx \right ]$

Первый член представляет собой работу, совершаемую силой тяжести , а второй член представляет собой работу, совершаемую силой .$F_{up}$

Если сила$F_{up}$нет, то$mg$снова работает$mgx_o$но теперь масса$m$ускоряется, так как$mg > kx$и продолжает ускоряться до тех пор, пока$mg=kx_o$когда результирующая сила, действующая на массу, равна нулю.
Однако, хотя это состояние статического равновесия с точки зрения сил, масса движется, приобретая кинетическую энергию.$\dfrac 1 2 k x_o^2$во время его спуска будет продолжаться до тех пор, пока он, наконец, не остановится, когда расширение$x = 2 x_o$.
С точки зрения энергии пружина запасла в себе потенциальную энергию$\dfrac 1 2 k (2x_o)^2 = 2 kx_o^2$в нем и работа силы тяжести равна$mg\;2x_o = 2 kx_o^2$.

Так что энергия не потеряна.

Если бы систему пружинных масс оставить в покое и не действовали диссипативные силы, то масса колебалась бы вокруг положения статического равновесия.$x=x_o$навсегда.

На практике при наличии сил трения масса будет совершать затухающие гармонические движения и в конечном итоге остановится в положении статического равновесия с энергией$\dfrac 12 k x_o^2$рассеивается в виде тепла.