Где находится центр тяжести Земли? [закрыто]

Question

Где находится центр тяжести Земли? [закрыто]

Кантура

Возьмите Солнце как точечный объект в начале координат.

Возьмем Землю как шар с центром в $x=d$ с радиусом $R$

Позволять $d=150,000,000,000$ м

Позволять $R=6,400,000$ м

Разрежьте сферу на вертикальные диски массы $\Delta m$

Сила на каждом диске будет $\frac{k\Delta m}{x^2}$ где $k=GM_{Sun}$

Суммарная сила будет $F=k\int^{d+R}_{d-R} \frac{\Delta m}{x^2}$

Предположим, что Земля имеет постоянную плотность.

Пусть масса всей Земли $m$

\frac{Δ м}{в о л ты м е - о ф - г я с к} "=" \frac{м}{в о л ты м е - о ф - е а р т час}

$\frac{\Delta m}{volume-of-disk}=\frac{m}{volume-of-earth}$

\frac{Δ м}{π у^{2} Δ Икс} "=" \frac{м}{\frac{4}{3} π р^{3}}

$\frac{\Delta m}{\pi y^2 \Delta x}=\frac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Δ м "=" \frac{3 м у^{2}}{4 р^{3}} Δ Икс

$\Delta m = \frac{3my^2}{4R^3} \Delta x$

Ф "=" \frac{3 к м}{4 р^{3}} \int_{г - р}^{г + р} \frac{у^{2}}{{Икс}^{2}} дельта Икс

$F=\frac{3km}{4R^3}\int^{d+R}_{d-R} \frac{y^2}{x^2} \delta x$

Давайте разбираться с $y^2$ сейчас.

р^{2} "=" у^{2} + (г - Икс)^{2}

$R^2=y^2+(d-x)^2$

у^{2} "=" р^{2} - г^{2} + 2 г Икс - {Икс}^{2}

$y^2=R^2-d^2+2dx-x^2$

\frac{у^{2}}{{Икс}^{2}} "=" \frac{р^{2} - г^{2}}{{Икс}^{2}} + \frac{2 г}{Икс} - 1

$\frac{y^2}{x^2}=\frac{R^2-d^2}{x^2}+\frac{2d}{x}-1$

Итак, сила теперь:

Ф "=" \frac{3 к м}{4 р^{3}} \int_{г - р}^{г + р} (\frac{р^{2} - г^{2}}{{Икс}^{2}} + \frac{2 г}{Икс} - 1) дельта Икс

$F=\frac{3km}{4R^3}\int^{d+R}_{d-R} (\frac{R^2-d^2}{x^2}+\frac{2d}{x}-1) \delta x$

Ф "=" \frac{3 к м}{4 р^{3}} [\frac{г^{2} - р^{2}}{Икс} + 2 г п | Икс | - Икс]_{г - р}^{г + р}

$F=\frac{3km}{4R^3} [\frac{d^2-R^2}{x}+2d \ln{|x|}-x]^{d+R}_{d-R}$

Ф "=" \frac{3 к м}{2 р^{3}} (г п | \frac{г + р}{г - р} | - 2 р)

$F=\frac{3km}{2R^3}(d\ln{|\frac{d+R}{d-R}|}-2R)$

Если сила тяжести действует на точку в месте $x=r$ тогда сила $F$ также дается:

Ф "=" \frac{к м}{р^{2}}

$F=\frac{km}{r^2}$

Так:

Ф "=" \frac{к м}{р^{2}} "=" \frac{3 к м}{2 р^{3}} (г п | \frac{г + р}{г - р} | - 2 р)

$F=\frac{km}{r^2}=\frac{3km}{2R^3}(d\ln{|\frac{d+R}{d-R}|}-2R)$

Ф "=" \frac{1}{р^{2}} "=" \frac{3}{2 р^{3}} (г п | \frac{г + р}{г - р} | - 2 р)

$F=\frac{1}{r^2}=\frac{3}{2R^3}(d\ln{|\frac{d+R}{d-R}|}-2R)$

Теперь, когда я подпишусь $R=6400000$ и $d=150000000000$ Я ожидаю получить значение для $r$ немного меньше, чем $d$ , но я не получаю этот результат. На самом деле значение того, что в скобках, оказывается отрицательным: $-0.003868$ . Я сделал что-то не так в моем выводе?

ДЖЭБ

Вы игнорируете тот факт, что силовые линии сходятся для

y \neq 0

$y \ne 0$ ? Разве этот эффект не должен быть той же величины, что и зависимость от расстояния?

Кантура

@JEB Я не знаю, что это значит, JEB. Не могли бы вы перефразировать это или упростить для меня, пожалуйста?

Г. Смит

Если вы предполагаете, что Земля имеет сферически-симметричную плотность массы, то вы обнаружите, что гравитационная сила Солнца эффективно действует на центр Земли.

Ответы (1)

Где находится центр тяжести Земли? [закрыто]

Вы игнорируете тот факт, что силовые линии сходятся для $y \ne 0$ ? Разве этот эффект не должен быть той же величины, что и зависимость от расстояния?
@JEB Я не знаю, что это значит, JEB. Не могли бы вы перефразировать это или упростить для меня, пожалуйста?
Если вы предполагаете, что Земля имеет сферически-симметричную плотность массы, то вы обнаружите, что гравитационная сила Солнца эффективно действует на центр Земли.

ДЖЭБ · Answer 1

Притяжение Солнца сильнее (слабее) на ближней (дальней) стороне по отношению к центру (вдоль центральной линии, $y=z=0$ ). Если вы найдете центр тяжести этого:

{Икс}_{с г} "=" \frac{\int_{Икс "=" - р}^{Икс "=" р} Икс \frac{г р (Икс)}{(г + Икс)^{2}} г Икс}{\int_{Икс "=" - р}^{Икс "=" р} \frac{г р (Икс)}{(г + Икс)^{2}} г Икс} < 0

$x_{cg} = \frac{\int_{x=-R}^{x=R}{x\frac{G\rho(x)}{(d+x)^2}dx}}{\int_{x=-R}^{x=R}{\frac{G\rho(x)}{(d+x)^2}dx}} < 0$

(где я переместил начало координат в центр Земли), это будет ближе к Солнцу, чем центр масс:

{Икс}_{с м} "=" \frac{\int_{Икс "=" - р}^{+ р} Икс р (Икс) г Икс}{\int_{Икс "=" - р}^{Икс "=" р} р (Икс) г Икс} "=" 0

$x_{cm} = \frac{\int_{x=-R}^{+R}{x\rho(x)dx}} {\int_{x=-R}^{x=R}{\rho(x)dx}}=0$

что вы и пытались сделать.

Вы можете оценить разницу в силе на каждом конце от

Ф (Икс) \approx Ф (0) + \frac{г Ф}{г Икс} (Икс) "=" Ф (0) [1 - \frac{2 Икс}{г}]

$F(x) \approx F(0) + \frac{dF}{dx}(x) = F(0)[1-\frac{2x}{d}]$

так

Ф (\pm р) "=" Ф (0) [1 \mp \frac{2 р}{г}]

$F(\pm R) = F(0)[1\mp \frac{2R}d]$

или

\frac{Δ Ф}{Ф} "=" \frac{2 р}{г}

$\frac{\Delta F} F = \frac{2R} d$

за смещение на 1 радиус.

Проблема в том, что когда вы уходите от центральной линии, поля не параллельны, все они направлены внутрь к центру солнца. Хотя поперечные компоненты компенсируются симметрией, продольный компонент уменьшается.

Вы можете оценить на сколько:

Ф (Икс "=" 0, у "=" р) \approx Ф (0) потому что \frac{р}{г} "=" Ф (0) [1 - \frac{1}{2} (\frac{р}{г})^{2}]

$F(x=0, y=R) \approx F(0)\cos{\frac R d} = F(0)[1-\frac 1 2 (\frac R d)^2]$

которое кажется незначительным по сравнению с продольным приливным эффектом, поскольку оно квадратично по малому параметру (вместо линейного).

Но: это относится к гораздо большей массе, поскольку покрывает все кольцо, а не только конечные точки (это касается 1 степени $R/d$ ), а поперечный эффект имеет ту же величину, что и продольный эффект (и, таким образом, приливный тензор бесследен).

Вам придется обобщить 1-ю формулу для $x_{cg}$ включить 3 измерения (с цилиндрической симметрией), чтобы найти правильный ответ.

Правильный ответ заключается в том, что сила действует так, как будто вся масса находится в центре Земли — для сферически-симметричной Земли. Если имеется учетверенный момент (см. $J_2$ ), затем он соединяется с тензорным градиентом гравитационного поля, создавая крутящие моменты и перемещая центры тяжести, но сферически-симметричные Земли не имеют моментов более высокого порядка.

Я не уверен, видели ли вы ограничения на распределение массы внутри каждого тела, чтобы их взаимные орбиты были кеплеровскими? еще; Возможно ли, что расширение вашего ответа здесь может применяться и там?
@uhoh Мало того, что я этого не видел, я не понимаю, почему я этого не видел, ведь ему уже месяц, а я захожу на physics.stackexchange.com/questions каждые несколько дней.

Где находится центр тяжести Земли? [закрыто]

Кантура

ДЖЭБ

Кантура

Г. Смит

Ответы (1)

ДЖЭБ

ооо

ДЖЭБ

В этой конкретной задаче: является ли масса системы массой человека?

Насколько сильно я ударился бы о землю на Марсе?

Почему в этом примере гравитация не учитывается по оси yyy? [закрыто]

Вертикальная составляющая mgsinθmgsin⁡θmg \sin θ

Почему треугольники рисуются именно так при работе с гравитацией на наклонной плоскости?

Вертикальная скорость прыгуна с трамплина после рекорда 246,5 м 246,5 м 246,5 м?

Можно ли объяснить эту сцену из «Команды А» физикой?

Почему в этой задаче mgmgmg положительный, а NNN отрицательный?

Максимальная дальность полета снаряда с наклонной плоскости [закрыто]

Почему некоторые силы не входят в сумму сил?