Одномерная кольцевая геометрия - Группа переводов

Question

Одномерная кольцевая геометрия - Группа переводов

пользователь35952

Я рассматривал кольцевую одномерную геометрию. При этом, если мы фиксируем начало координат (в какой-то точке на окружности), мы можем думать о множестве всех перемещений по окружности , чтобы сформировать векторное пространство . Теперь один вектор можно обозначить (по некоторым причинам, которые станут понятны позже),

(\begin{array}{ccc} Икс \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} x \\ 1 \end{array} \right)$ Далее можно получить любой другой вектор в пространстве, переведя вектор, скажем

x_{0} \to x_{0} + a

$x_0 \rightarrow x_0+a$ . Мы можем использовать линейное преобразование:

Т (а) "=" (\begin{array}{cc} 0 & а \\ 0 & 0 \end{array})

$T(a) = \left( \begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0\end{array} \right)$ такой, что

(\begin{array}{ccc} Икс + а \\ 1 \end{array}) "=" (\begin{array}{ccc} Икс \\ 1 \end{array}) + Т (а) (\begin{array}{ccc} Икс \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} x + a \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x \\ 1 \end{array} \right)+ T(a)\left( \begin{array}{ccc} x \\ 1 \end{array} \right)$ Теперь множество всех таких линейных преобразований образует группу.

Наиболее важная часть этого преобразования состоит в том, что если длина окружности кольца равна некоторой $L$ , то преобразование $T(nL)$ где $n \in \mathbb Z$ не должен менять вектор. Математически,

Т (н л) (\begin{array}{ccc} {Икс}_{0} \\ 1 \end{array}) "=" (\begin{array}{ccc} {Икс}_{0} \\ 1 \end{array})

$T(nL) \left( \begin{array}{ccc} x_0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_0 \\ 1 \end{array} \right)$

Теперь мой вопрос: с этими определениями является ли группа переводов компактной ? А если это генератор трансляций, то будут какие-то свойства вроде момента импульса (хотя это генератор трансляций)?

PS: Надеюсь, я не говорю о ротациях. Я просто говорю о переносах по окружности круга.

Дилатон

Это совершенно законный вопрос по технической физике. В чем смысл закрытого голосования? Должен сказать, что довольно тревожно, что все больше и больше таких и подобных законных вопросов людей, которые серьезно заинтересованы в изучении физики на техническом уровне, кажется, здесь больше не приветствуются ...

Кайл Канос

Связано с OP: math.stackexchange.com/q/667502

джошфизика

@Dilaton Закрытое голосование было голосованием за миграцию (в math.SE); Я перечитал вопрос и обнаружил, что он также спрашивает об угловом моменте ближе к концу. Закрытое голосование отозвано (хотя я не совсем уверен, следует ли считать это в первую очередь математическим вопросом или нет).

Дилатон

@joshphysics, другой вопрос, связанный с Кайлом Каносом, тоже не должен был быть перенесен. 3 члена сообщества действительно убрали его из очереди на закрытие, сказав оставить открытым, но затем он все равно был перенесен модом. Как я сказал Кайлу Каносу, имхо, как и в том, и в другом случае не всегда можно провести четкую грань, потому что физика написана на языке математики, для объяснения законов сохранения нужна теория групп например, и тем более продвинутая/ теоретическая тема, тем больше математики требуется, чтобы технически говорить о ней. Я действительно хотел бы видеть больше терпимости по отношению к

джошфизика

@Dilaton Как человек, ответивший на этот другой вопрос; Я, наверное, согласен, что он должен был остаться здесь.

Дилатон

математические вопросы по физике SE в пользу людей, которые заинтересованы в изучении физики на серьезном техническом уровне. Я просто помню, что в физике гораздо более актуальный вопрос 1 + 1 + 1 = -1/2, даже Любош Мотл, известный эксперт в этой теме, сказал, что его нужно было оставить здесь. На Math SE такие слишком физические вопросы перекати-поле в лучшем случае, поскольку люди там не слишком интересуются вещами, связанными с физикой, за исключением того, что часто имеют другой, чем у физиков, взгляд на эти вещи.

Ответы (1)

Одномерная кольцевая геометрия - Группа переводов

Это совершенно законный вопрос по технической физике. В чем смысл закрытого голосования? Должен сказать, что довольно тревожно, что все больше и больше таких и подобных законных вопросов людей, которые серьезно заинтересованы в изучении физики на техническом уровне, кажется, здесь больше не приветствуются ...
@Dilaton Закрытое голосование было голосованием за миграцию (в math.SE); Я перечитал вопрос и обнаружил, что он также спрашивает об угловом моменте ближе к концу. Закрытое голосование отозвано (хотя я не совсем уверен, следует ли считать это в первую очередь математическим вопросом или нет).
@joshphysics, другой вопрос, связанный с Кайлом Каносом, тоже не должен был быть перенесен. 3 члена сообщества действительно убрали его из очереди на закрытие, сказав оставить открытым, но затем он все равно был перенесен модом. Как я сказал Кайлу Каносу, имхо, как и в том, и в другом случае не всегда можно провести четкую грань, потому что физика написана на языке математики, для объяснения законов сохранения нужна теория групп например, и тем более продвинутая/ теоретическая тема, тем больше математики требуется, чтобы технически говорить о ней. Я действительно хотел бы видеть больше терпимости по отношению к
@Dilaton Как человек, ответивший на этот другой вопрос; Я, наверное, согласен, что он должен был остаться здесь.
математические вопросы по физике SE в пользу людей, которые заинтересованы в изучении физики на серьезном техническом уровне. Я просто помню, что в физике гораздо более актуальный вопрос 1 + 1 + 1 = -1/2, даже Любош Мотл, известный эксперт в этой теме, сказал, что его нужно было оставить здесь. На Math SE такие слишком физические вопросы перекати-поле в лучшем случае, поскольку люди там не слишком интересуются вещами, связанными с физикой, за исключением того, что часто имеют другой, чем у физиков, взгляд на эти вещи.

Вальтер Моретти · Answer 1

Прежде всего, я пытаюсь переформулировать ваш вопрос в более ясной форме.

Учитывать $\mathbb R$ снабжено отношением эквивалентности:

$x \sim y$ если и только если $x-y= 2k\pi$ с $k \in \mathbb Z$ .

Космос ${\mathbb R}/ \sim$ классов эквивалентности $[x]$ является $\mathbb S^1$ также как топологическое пространство, использующее фактортопологию.

Далее рассмотрим стандартные действия группы переводов Ли. $\mathbb R$ на реальной линии $\mathbb R$ :

Т (а) Икс "=" Икс + а \forall Икс, а е р,

$T(a)x:=x+a\quad \forall x,a \in \mathbb R\:,$

и определить представление группы перевода на $\mathbb S^1$ как

Т' (а) [Икс] "=" [Т (а) Икс] \forall Икс, а е р . (1)

$T′(a)[x]:=[T(a)x]\:\forall x,a \in \mathbb R\:. \quad (1)$

Карта $\mathbb R\ni a \mapsto T′(a)$ на самом деле является представлением группы перевода на $\mathbb S^1$ по изометриям окружности (при оснащении стандартной метрикой). В частности, $T'(0)= id$ и $T'(a)T'(b)= T'(a+b)$ .

Однако все это не имеет ничего общего с компактностью (ложной!) группы переносов, даже если описанная процедура приводит к представлению этой (некомпактной) группы Ли на компактном многообразии в терминах изометрий этого многообразия.

В конце концов, придем к соотношению с группой вращений $\mathbb R^2$ : $SO(2) \equiv U(1)$ .

Как $\mathbb R$ является универсальным покрытием $U(1)$ , с накрывающим (сюръективная группа Ли) гомоморфизмом:

π : р^{1} ∋ а \mapsto е^{я а} е U (1), (2)

$\pi : \mathbb R^1 \ni a \mapsto e^{ia} \in U(1)\:,\qquad (2)$ каждое представление группы $\mathbb R^2$ вращения $U(1)$ также является представлением группы переводов $\mathbb R$ .

Идентификация $\mathbb S^1$ с $U(1)$ стандартным образом естественное действие (представление) $U(1)$ по кругу банально

р (е^{я а}) е^{я Икс} "=" е^{я (а + Икс)} (3)

$R(e^{ia}) e^{ix} = e^{i(a+x)} \qquad (3)$

где первый $e^{ia}$ рассматривается как элемент группы $U(1)\equiv SO(2)$ а два других рассматриваются как элементы круга $U(1) \equiv \mathbb S^1$ .

Взаимодействие $T', R$ и $\pi$ , как легко доказать:

р (π (а)) "=" Т^{'} (а) \forall а е р . (4)

$R(\pi(a))= T'(a)\quad \forall a \in \mathbb R\:.\qquad (4)$

Это согласуется с вышеприведенным замечанием о том, что представители $SO(2)$ также являются представителями $\mathbb R$ .

Таким образом, фактически невозможно различить действие $\mathbb R$ и что из $SO(2)$ по кругу $\mathbb S^1$ , хотя это разные группы и только последняя компактна (и определенным образом связана с компонентой момента импульса, ортогональной $\mathbb R^2$ .)

Я очень ценю ваш ответ. Но я только начинаю изучать алгебру Ли (и я изучаю физику). Хотя я понимаю суть вашего ответа, я затрудняюсь понять математические детали.
Также мне интересно понять, как найти компактность группы
Привет, если вы только начинаете изучать эти вещи, возможно, ваш вопрос слишком сложен, так как он требует технического ответа, как вы видели. однако я тоже физик (включая докторскую степень). Насчет компактности история проста. Почти все интересные группы в теоретической физике являются группами матриц, поэтому они являются подмножествами $\mathbb R^{n^2}$ с $n$ достаточно большой. Топология и дифференцируемая структура индуцированы $\mathbb R^{n^2}$ . Как в $\mathbb R^N$ все компактные множества являются замкнутыми ограниченными множествами, вы должны проверить только эти два условия.
Ох, хорошо !! Спасибо, но я просто придумал вопрос из любопытства. Если подумать, не должно ли быть подобной связи с $SO(3)$ и $U(2)$ (так вот что дает нам эти частицы с половинным спином.
Так, например $U(n)$ можно рассматривать как подмножество $\mathbb R^{(2n)^2}$ . Это замкнутое подмножество этого пространства, поскольку оно включает в себя его предельные точки (если $A_kA_k^\dagger =I$ и $A_k \to A$ в $\mathbb R^{(2n)^2}$ затем $AA^\dagger =I$ ). Он компактен еще и потому, что ограничен: если $U \in U(n)$ затем $|U_{rs}|^2 \leq \sum_{i} ( \sum_{j}U_{ij}U_{ij}^*) = \sum_{i} \delta_{ii} = n$ .
Касательно $SO(3)$ и $U(2)$ , да, вы думаете, что есть связь, и она приводит к двум типам представлений о спине. См. мой (извините, довольно технический) ответ на физику.stackexchange.com/questions /96569/…
Спасибо !! любые предложения по изучению групп Ли и алгебры с небольшим уклоном в математику.
Могу ли я обобщить, рассматривая гиперсферу в N-мерном пространстве, может ли быть связь между группами U(N) и SO(N+1). Если нет, то каков предел N (или условие), которое это нарушает?
Необходимое условие состоит в том, чтобы две группы имели ту же размерность, что и вещественные многообразия (т. е. ту же размерность соответствующих алгебр Ли). $SU(N)$ группа Ли вещественной размерности $N^2-1$ , $SO(N+1)$ группа Ли вещественной размерности $((N+1)^2-(N+1))/2$ . Они подходят для $N=2$ только. Фактически $SU(2)$ и $SO(3)$ локально идентичны.
Что касается U (N) и SO (N + 1), вместо этого алгебра Ли U (N) имеет размерность $N^2$ . Так они подходят для $N=1$ только. Фактически $SO(2)$ и $U(1)$ изоморфны.

Одномерная кольцевая геометрия - Группа переводов

пользователь35952

Дилатон

Кайл Канос

джошфизика

Дилатон

джошфизика

Дилатон

Ответы (1)

Вальтер Моретти

пользователь35952

пользователь35952

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

пользователь35952

пользователь35952

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Коэффициенты связи в SO(4)

Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Почему образующие вращения в 4-мерном евклидовом пространстве соответствуют вращениям на плоскости?

Бесконечномерные представления SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

Представление su(2)su(2)su(2) алгебры Ли на торе

Единая последовательность лестницы углового момента в квантовой механике? -- Почему есть только

Как оценить эту сумму коэффициентов связи?

Генератор матрицы вращения

Полный вывод генератора вращений

Где живут L+L+L_+ и L−L−L_-, как не в so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?