Коэффициенты связи в SO(4)

Question

Коэффициенты связи в SO(4)

Физика
алгебра лжи
теория групп
угловой момент
групповые представления

хорошо

У меня есть два уравнения (от двух разных авторов) для разложения коэффициента связи SO(4) (т.е. 3j-символ Вигнера для SO(4)). Во-первых:

{(\begin{array}{ccc} л_{1} & л_{2} & л_{3} \\ (л_{1}^{'}, Н_{1}) & (л_{2}^{'}, Н_{2}) & (л_{3}^{'}, Н_{3}) \end{array})}_{С О (4)} "=" {(\begin{array}{ccc} л_{1} & л_{2} & л_{3} \\ л_{1}^{'} & л_{2}^{'} & л_{3}^{'} \end{array})}_{(С О (4) : С О (3))} (\begin{array}{ccc} л_{1}^{'} & л_{2}^{'} & л_{3}^{'} \\ Н_{1} & Н_{2} & Н_{3} \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ \left(l'_1, N_1\right) & \left(l'_2, N_2\right) & \left(l'_3, N_3\right) \end{array} \right)_{SO(4)} = \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ l'_1 & l'_2 & l'_3 \end{array} \right)_{\left(SO(4):SO(3)\right)} \left( \begin{array}{ccc} l'_1 & l'_2 & l'_3 \\ N_1 & N_2 & N_3 \end{array} \right) \end{equation}$

Левая часть представляет собой коэффициент связи (Вигнера) для SO (4), а правая часть имеет изоскалярный фактор с меткой $SO(4):SO(3)$ и нормальный коэффициент Вигнера для SO(3).

Во втором уравнении автор разлагает коэффициент связи SO(4) на произведение двух коэффициентов связи SO(3) следующим образом:

{(\begin{array}{ccc} ({Икс}_{1} Д_{1}) & ({Икс}_{2} Д_{Икс}) & (Икс Д) \\ (М_{{Икс}_{1}} М_{Д_{1}}) & (М_{{Икс}_{2}} М_{Д_{2}}) & (М_{Икс} М_{Д}) \end{array})}_{С О (4)} "=" (\begin{array}{ccc} {Икс}_{1} & {Икс}_{2} & Икс \\ М_{{Икс}_{1}} & М_{{Икс}_{2}} & М_{Икс} \end{array}) (\begin{array}{ccc} Д_{1} & Д_{2} & Д \\ М_{Д_{1}} & М_{Д_{2}} & М_{Д} \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc}\left(X_1Y_1\right)&\left(X_2Y_x\right)&\left(XY\right)\\\left(M_{X_1}M_{Y_1}\right)&\left(M_{X_2}M_{Y_2}\right)&\left(M_XM_Y\right)\end{array}\right)_{SO(4)}=\left(\begin{array}{ccc}X_1&X_2&X\\M_{X_1}&M_{X_2}&M_X\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}Y_1&Y_2&Y\\M_{Y_1}&M_{Y_2}&M_Y\end{array}\right)$

В этом случае SO (4) является прямым произведением двух SO (3): $(X_1Y_1)\bigotimes(X_2Y_2)\rightarrow(XY)$

$\bf QUESTION$ : я хочу установить эти уравнения равными друг другу и найти изоскалярный множитель, но меня смущает тот факт, что первый автор использует только скаляр для верхних аргументов, тогда как второй автор использует кортеж. Как соотносятся параметры коэффициентов связи SO(4)? (например, есть ли способ получить $X_1,Y_1$ от $l_1$ ?)

$\bf SUPPLEMENTARY\ INFO$ :

Первое уравнение ур. 4.6b с ftp://ftp.physics.uwa.edu.au/pub/Clebsch-Gordan/Papers/SO%28n%29.pdf

Второе уравнение ур. 22 из http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v51/i9/p093518_s1

Параметры второго уравнения определяются следующим образом:

$L_{rs}\equiv-i(x_r\partial_s-x_s\partial_r)$

$J_r\equiv\frac{1}{2}\varepsilon_{rst}L_{st}$ , $N_r\equiv L_{r4}$ , т.е.

\begin{array}{ccc} {Дж}_{1} "=" л_{23} & {Дж}_{2} "=" л_{31} & {Дж}_{3} "=" л_{12} \\ Н_{1} "=" л_{14} & Н_{2} "=" л_{24} & Н_{3} "=" л_{34} \end{array}

$\begin{array}{ccc}J_1=L_{23}&J_2=L_{31}&J_3=L_{12}\\N_1=L_{14}&N_2=L_{24}&N_3=L_{34}\end{array}$

$X_k\equiv\frac{1}{2}(J_k+N_k)$
$Y_k\equiv\frac{1}{2}(J_k-N_k)$

$M_X=-X,...,X-1,X$
$M_Y=-Y,...,Y-1,Y$

хорошо

Я заметил одну вещь, которая может помочь, автор уравнения. 1 утверждает, что «канонические базисные состояния симметричного (первого класса) неприводимого представления

l = l_{(n)}

$l=l_{(n)}$ для цепи

S O (n) \supset S O (n - 1) \supset . . . \supset S O (3) \supset S O (2)

$SO(n)\supset SO(n-1)\supset...\supset SO(3)\supset SO(2)$ помечены

(n - 2)

$(n-2)$ -кортеж

M = (l_{(n - 1)}, N) = (l_{(n - 1)}, . . ., l_{(3)}, m_{(2)})

$M=(l_{(n-1)},N)=(l_{(n-1)},...,l_{(3)},m_{(2)})$ целых чисел

l_{(n)} \geq l_{(n - 1)} \geq . . . \geq l_{(3)} \geq | m_{(2)} |

$l_{(n)}\geq l_{(n-1)}\geq ...\geq l_{(3)}\geq |m_{(2)}|$ ". Также в его обозначениях здесь я считаю "SO(n) неприводимое представление

l_{(n)} = l

$l_{(n)}=l$ [имеет] SO(n-1) метки нерепутации

l_{(n - 1)} = l^{'}

$l_{(n-1)}=l'$ ".

Qмеханик

Первая ссылка на ftp у меня не работает. Вторая ссылка находится за платной стеной. В будущем, если возможно, дайте ссылку на страницу рефератов arXiv, например, arxiv.org/abs/1006.2875.

Ответы (1)

Коэффициенты связи в SO(4)

Я заметил одну вещь, которая может помочь, автор уравнения. 1 утверждает, что «канонические базисные состояния симметричного (первого класса) неприводимого представления $l=l_{(n)}$ для цепи $SO(n)\supset SO(n-1)\supset...\supset SO(3)\supset SO(2)$ помечены $(n-2)$ -кортеж $M=(l_{(n-1)},N)=(l_{(n-1)},...,l_{(3)},m_{(2)})$ целых чисел $l_{(n)}\geq l_{(n-1)}\geq ...\geq l_{(3)}\geq |m_{(2)}|$ ". Также в его обозначениях здесь я считаю "SO(n) неприводимое представление $l_{(n)}=l$ [имеет] SO(n-1) метки нерепутации $l_{(n-1)}=l'$ ".
Первая ссылка на ftp у меня не работает. Вторая ссылка находится за платной стеной. В будущем, если возможно, дайте ссылку на страницу рефератов arXiv, например, arxiv.org/abs/1006.2875.

ZeroTheHero · Answer 1

Ваш первый набор наборов LaTeX не работает, но неясно, что уравнение (4.6b) Алисаускаса и уравнение (22) Каприо являются вычислениями, выполненными с использованием одного и того же набора состояний, построенных с использованием одних и тех же цепочек подгрупп.

Чтобы быть точным: Каприо и др . используют две копии $SO(3)$ , т.е. _ $SO(3)\otimes SO(3)$ цепочка подгрупп - и, таким образом, состояния, помеченные $\vert L_X,M_X;L_Y,M_Y\rangle$ , тогда как Алисаускас использует один $SO(3)$ - с состояниями, помеченными (предположительно) как $\vert (l_2,0);LM\rangle$ . Таким образом, технология компьютерной графики и полученная в результате редуцированная компьютерная графика, скорее всего, отличаются.

Кроме того, кажется, что выражение Алисаускаса ограничивается полностью симметричными иррепрезентациями, т.е. иррепрезентациями типа $(l_n,0,\ldots,0)$ из $SO(2n)$ - следовательно $0$ в $(l_2,0)$ в моей маркировке его состояний, так что еще более маловероятно, что эти два результата вообще можно сравнивать.

Чтобы продолжить, кажется, вам нужно построить $so(4)$ прямо заявляет в $so(3)$ основа. Предлагаю обратиться к работе

SC Pang и KT Hecht, J. Math. Физика 8 (1967) 1233
МКФ Вонг, J.Math.Phys 8 (1967) 1 899
идентификатор. , J.Math.Phys. 10 (1969) 1065

в качестве отправной точки, если вам нужно $SO(4)\downarrow SO(3)$ строительство (которое может стать техническим, как вы обнаружите).

The $SO(4)\downarrow SO(3)\otimes SO(3)$ base намного проще, но вам нужно будет указать, какую из подгрупп вы хотите использовать для сокращения ваших CG.

Коэффициенты связи в SO(4)

хорошо

хорошо

Qмеханик

Ответы (1)

ZeroTheHero

Где живут L+L+L_+ и L−L−L_-, как не в so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Квантование углового момента в SO(3)SO(3)SO(3)

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

Диагонализация матриц в SU(2) и SO(3)

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Заряд поля под действием группы

Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Квантование орбитального углового момента