Генераторы группы Лоренца: два метода

Question

Генераторы группы Лоренца: два метода

клгклм

Члены группы Лоренца подчиняются

η "=" Λ^{Т} η Λ

$\eta=\Lambda^{T}\eta\Lambda$ где

η = diag (1, - 1, - 1, - 1)

$\eta=\textrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ является метрикой Минковского.

Сначала в матричной форме напишите

Λ "=" я + Т

$\Lambda=I+T$ где

T

$T$ является бесконечно малым генератором. Из приведенного выше условия в первом порядке следует, что

Т "=" - η Т^{Т} η

$T=-\eta T^{T}\eta$ и так

T

$T$ антисимметрична по пространственно-временной и пространственно-временной компонентам и симметрична по пространственно-временным компонентам.

Далее в индексной форме пишем

Λ_{ν}^{мю} "=" {дельта}_{ν}^{мю} + ю_{ν}^{мю}

$\Lambda^{\mu}_{\,\,\nu}=\delta^{\mu}_{\,\,\nu}+\omega^{\mu}_{\,\,\nu}$ Затем составная версия определяющего уравнения подразумевает, что в первом порядке

ю_{ν}^{мю} "=" - ю_{ν}^{мю}

$\omega^{\mu}_{\,\,\nu}=-\omega^{\,\,\mu}_{\nu}$ поэтому образующие полностью антисимметричны.

Насколько я вижу, $\omega^{\mu}_{\,\,\nu}$ это просто форма индекса $T$ . Поэтому я немного смущен тем, почему они, похоже, подчиняются разным условиям. Кто-нибудь может помочь?

Qмеханик

Подсказка: подумайте, как обозначение

ω_{ν}^{μ}

$\omega_{\nu}{}^{\mu}$ (в отличие от

ω^{μ}_{ν}

$\omega^{\mu}{}_{\nu}$ ) определяется в последнем уравнении.

Прахар

T^{μ}_{ν} = - (η T^{T} η)^{μ}_{ν} = - η^{μ α} (T^{T})_{α}^{β} η_{β ν} = - η^{μ α} T^{β}_{α} η_{β ν} = - T_{ν}^{μ}

$T^\mu{}_\nu = - ( \eta T^T \eta)^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\alpha} (T^T)_{\alpha}{}^\beta \eta_{\beta\nu} = - \eta^{\mu\alpha} T^\beta{}_\alpha \eta_{\beta\nu} = - T_\nu{}^\mu$ что совпадает с условием на

ω

$\omega$ .

клгклм

@Prahar В этом выводе, почему допустимо использовать

(T^{T})_{α}^{β} = T_{α}^{β}

$(T^{T})_{\alpha}^{\,\,\beta}=T^{\beta}_{\,\,\,\alpha}$ в третьем равенстве, но неприемлемо для использования

ω_{ν}^{μ} = (ω^{T})_{ν}^{μ}

$\omega^{\mu}_{\,\,\nu}=(\omega^{T})_{\nu}^{\,\,\mu}$ утверждать, что

ω^{T} = - ω

$\omega^{T}=-\omega$ ? Очевидно, я неправильно понимаю что-то довольно фундаментальное, поэтому было бы хорошо это понять.

причудливыйкварк

Может кто-нибудь сказать мне, как мы получаем

η = Λ^{T} η Λ

$\eta=\Lambda^{T}\eta\Lambda$ ?

Сайлас

@klgklm, транспонируя, вы меняете местами двойное пространство и пробел, что означает, что транспонирование имеет верхний индекс справа и нижний индекс слева.

Ответы (1)

Генераторы группы Лоренца: два метода

Подсказка: подумайте, как обозначение $\omega_{\nu}{}^{\mu}$ (в отличие от $\omega^{\mu}{}_{\nu}$ ) определяется в последнем уравнении.
$T^\mu{}_\nu = - ( \eta T^T \eta)^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\alpha} (T^T)_{\alpha}{}^\beta \eta_{\beta\nu} = - \eta^{\mu\alpha} T^\beta{}_\alpha \eta_{\beta\nu} = - T_\nu{}^\mu$ что совпадает с условием на $\omega$ .
@Prahar В этом выводе, почему допустимо использовать $(T^{T})_{\alpha}^{\,\,\beta}=T^{\beta}_{\,\,\,\alpha}$ в третьем равенстве, но неприемлемо для использования $\omega^{\mu}_{\,\,\nu}=(\omega^{T})_{\nu}^{\,\,\mu}$ утверждать, что $\omega^{T}=-\omega$ ? Очевидно, я неправильно понимаю что-то довольно фундаментальное, поэтому было бы хорошо это понять.
Может кто-нибудь сказать мне, как мы получаем $\eta=\Lambda^{T}\eta\Lambda$ ?
@klgklm, транспонируя, вы меняете местами двойное пространство и пробел, что означает, что транспонирование имеет верхний индекс справа и нижний индекс слева.

Noix07 · Answer 1

Меня на самом деле смутил третий комментарий... Первое уравнение в компонентной форме читается

Λ^{мю}_{α} η_{мю ν} Λ^{ν}_{β} "=" η_{α β}

$\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\, \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^{\nu}{}_{\beta} = \eta_{\alpha\beta}$ так что с разложением около единицы:

({дельта}^{мю}_{α} + ю^{мю}_{α}) η_{мю ν} ({дельта}^{ν}_{β} + ю^{ν}_{β}) + о (ю) "=" η_{α β} + ю^{мю}_{α} η_{мю β} + η_{α ν} ю^{ν}_{β} + о (ю) "=" η_{α β}

$(\delta^{\mu}{}_{\alpha} + \omega^{\mu}{}_{\alpha})\, \eta_{\mu\nu}\, (\delta^{\nu}{}_{\beta} + \omega^{\nu}{}_{\beta}) + o(\omega) = \eta_{\alpha\beta} + \omega^{\mu}{}_{\alpha}\, \eta_{\mu\beta} + \eta_{\alpha\nu}\, \omega^{\nu}{}_{\beta} + o(\omega) = \eta_{\alpha\beta}$

⟹ ю^{мю}_{α} η_{мю β} "=" - η_{α ν} ю^{ν}_{β} ⟺ ю_{β α} "=" - ю_{α β}

$\Longrightarrow\quad \omega^{\mu}{}_{\alpha}\, \eta_{\mu\beta} = - \eta_{\alpha\nu}\, \omega^{\nu}{}_{\beta} \quad \Longleftrightarrow\quad \omega_{\beta\alpha} = - \omega_{\alpha\beta}$ или также

ю^{γ}_{α} "=" - η_{α ν} ю^{ν}_{β} η^{β γ} "=" - ю_{α}^{γ} (Е д)

$\omega^{\gamma}{}_{\alpha} = - \eta_{\alpha\nu}\, \omega^{\nu}{}_{\beta}\, \eta^{\beta\gamma} =: -\omega_{\alpha}{}^{\gamma} \qquad (Eq)$

Позволять $M$ быть матрицей с компонентом $M^i{}_j$ на линии $i$ и колонка $j$ .

Несогласованная запись (М^{Т})^{я}_{Дж} "=" М^{Дж}_{я}

$\textbf{Inconsistent notation}\qquad (M^T)^i{}_j := M^j{}_i$ Транспонирование следует понимать как «двойственное» отображение:

M : E \to F

$M: E\rightarrow F$ затем

M^{T} : F^{*} \to E^{*}, λ \mapsto λ \circ M

$M^T: F^* \rightarrow E^*,\ \lambda \mapsto \lambda \circ M$ .

Теперь пусть $(\mathbf{e}_1,\cdots, \mathbf{e}_n)$ быть основой $E$ и $(\boldsymbol{\epsilon}^1,\cdots, \boldsymbol{\epsilon}^n)$ его двойное в $E^*$ . Вектор $\mathbf{x}\in E$ , соотв. $\boldsymbol{\varphi}\in E^*$ разлагается как

Икс "=" {Икс}^{мю} е_{мю} и ф "=" ф_{ν} ϵ^{ν}

$\mathbf{x}= x^{\mu}\, \mathbf{e}_{\mu}\quad \text{and}\quad \boldsymbol{\varphi} = \varphi_{\nu}\, \boldsymbol{\epsilon}^{\nu}$

Это мотивирует

(М^{Т})_{я}^{Дж} "=" М^{Дж}_{я}

$(M^T)_i{}^j := M^j{}_i$ это коэффициент линии

i

$i$ столбец

j

$j$ из

M^{T}

$M^T$ матрица

M^{T} : F^{*} \to E^{*}

$M^T: F^* \rightarrow E^*$ напишите основу домена и цели.

Таким образом, кажется, что то, что вы написали в комментарии, верно как равенство карт из $F^*$ к $E^*$ (Я намеренно различаю домен и таргетинг, потому что если кто-то скажет $\mathbf{R}^4$ затем... Карта, определяемая (Eq))

Другое, что нужно понять: $\eta_{\mu\nu}$ как матричный компонент карты $\eta: E \rightarrow E^*$ wrt база в домене и его дуал в целевом пространстве.

Генераторы группы Лоренца: два метода

клгклм

Qмеханик

Прахар

клгклм

причудливыйкварк

Сайлас

Ответы (1)

Noix07

Тензорный индекс в специальной теории относительности?

Обозначение индекса и метрика Минковского

Если ΛΛ\Lambda не является тензором, то в чем смысл Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} и ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} и т. д.?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Y:(t,x,y,z)→(t,x,−y,z)Y:(t,x,y,z)→(t,x,−y,z)Y: (t, x,y,z)\to(t,x,-y,z) преобразование Лоренца?

4-векторное определение

Как работает 4-векторная запись?

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Можно ли построить 4-вектор в специальной теории относительности, пространственной составляющей которого является электрическое поле E?

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?