Если ΛΛ\Lambda не является тензором, то в чем смысл Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} и ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} и т. д.?

После этого вопроса , который утверждает, что Λ (матрица преобразования в группе Лоренца) не является тензором, то если Λ       ν мю это матрица преобразования Лоренца, в чем смысл Λ мю ν , Λ мю       ν и Λ мю ν ?

Я знаю, как они связаны с Λ       ν мю , например:

Λ мю ν "=" η мю о Λ       ν о .
Учитывая тот факт, что η действительно тензор и Λ является "просто числом" (ну, просто матрицей), значит ли это, что Λ мю ν является тензором в том же смысле, что если р → является обычным трехмерным вектором и а е р тогда просто число а → "=" а р → вектор?

возможный дубликат physics.stackexchange.com/q/255933/84967 и ссылки в нем
Я видел эти ссылки, прежде чем спрашивать. Там поясняется, что Λ мю ν является обратным, но я до сих пор не знаю, каковы все остальные комбинации. я добавил Λ мю ν в мой вопрос только для завершения.

Ответы (1)

Несмотря на то Λ не является тензором, вы все равно можете понижать и повышать индексы с помощью метрики. В конце концов, вы просто перемножаете матрицы. Они полезны, потому что позволяют выразить обратную сторону Λ удобным способом. Чтобы быть явным, давайте определим матрицы преобразования (те, которые преобразуют векторы) с одним индексом вверх и одним вниз:

В ′ мю "=" Λ мю ν В ν .

Ковариантный вектор преобразуется обратным образом:

А мю ′ "=" А ν ( Λ − 1 ) ν мю .

Обратите внимание, что Λ − 1 имеет то же индексное позиционирование, что и Λ , так как обратное линейному преобразованию (которым является тензор 1-1) также является линейным преобразованием. Теперь одним определяющим свойством преобразования Лоренца является то, что η мю ν "=" Λ α мю Λ β ν η α β . Умножая обе части на η ν р ( Λ − 1 ) мю λ , это эквивалентно

( Λ − 1 ) р λ "=" η λ β η ν р Λ β ν "=" Λ λ р

что это говорит Λ − 1 "=" Λ Т пока вы осторожны с позиционированием индекса. В самом деле, это просто говорит о том, что матрицы Лоренца являются ортогональными матрицами относительно скалярного произведения Минковского. Это также позволяет нам вспомнить ковариантный закон преобразования как

А мю ′ "=" Λ мю ν А ν

что-то вроде контравариантной версии, но с обратными индексами. Однако я лично запутался и предпочитаю ничего из этого не использовать и просто писать Λ − 1 всякий раз, когда мне нужно.

Спасибо за ваш ответ, хотя я искал толкование для Λ мю ν и Λ мю ν . А также если это тензоры или остаются "просто матрицами".
@ user171780 Ни один из них не является тензором, поэтому о них особо нечего сказать, поскольку версии с двумя индексами вверх или двумя вниз появляются не очень часто. Единственный интересный факт, о котором я могу думать, это то, что они антисимметричны, что может (или не может) помочь вам запомнить явный вид матрицы Лоренца.
Если ΛΛ\Lambda не является тензором, то в чем смысл Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} и ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} и т. д.?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v