Обозначение индекса и метрика Минковского

Учитывая метрику Минковского η Преобразование Лоренца Λ удовлетворяет

η "=" Λ Т η Λ
который в индексной форме может быть записан
η мю ν "=" ( Λ Т ) мю α η α β Λ ν β
η мю ν "=" η α β Λ мю α Λ ν β
Как я могу получить индексное выражение для η мю ν начиная с этого выражения? Я попытался умножить через η а б используя свойство повышения индекса, но это не помогает.

Иногда верхние индексы можно понимать как обратную матрицу, я думаю, что это может быть один из таких случаев.

Ответы (1)

Использование свойства повышения индекса

η о λ "=" η о мю η мю ν η ν λ

Применение вашей формулы

"=" η о мю η α β Λ мю α Λ ν β η ν λ

и снова используя свойство повышения индекса

"=" η α β Λ α о Λ β λ .

Это то, что вы имели в виду? Альтернативно, η α β конечного выражения также можно заменить на η α β  соответствующим образом понизив один из индексов каждой из матриц преобразования:

η α β Λ α о Λ β λ "=" η α γ η γ дельта η дельта β Λ α о Λ β λ "=" η γ дельта Λ γ о Λ дельта λ .

Это дает η мю ν "=" η о р Λ о мю Λ р ν . Можно ли преобразовать это в форму η мю ν "=" η о р Λ р мю Λ о ν (У меня есть это в моих заметках, и мне интересно, это ошибка).
@Watw (извините за поздний ответ, я явно недостаточно часто использую SE.) Если вы (книга) используете согласованную нотацию, я бы прочитал это условие как η − 1 "=" Λ η − 1 Λ Т . Конечно, матрицы SO(1,3) обратимы, поэтому, если мы умножим это слева на Λ − 1 и справа ( Λ Т ) − 1 , мы получаем η − 1 "=" Λ − 1 η − 1 ( Λ Т ) − 1 "=" ( Λ Т η Λ ) − 1 , показывая, что условие эквивалентно (учитывая обратимость) исходному.
Обозначение индекса и метрика Минковского
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v