Тензорный индекс в специальной теории относительности?

Question

Тензорный индекс в специальной теории относительности?

Помни о смерти

Я изучаю специальную теорию относительности, и у меня есть некоторые трудности с тензорным индексом.

Возьмем, к примеру, матрицу Лоренца, элементы которой записываются как $\Lambda^\mu{}_\nu$ .

$\Lambda^\mu{}_\nu(v) = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \ \Lambda_\mu{}^\nu(v) = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

Теперь я знаю, что $u$ это индекс, связанный со строками. Это нормально, и это нормально, как мы можем записать умножение векторов и матриц таким образом.

Но я видел, например, это уравнение

$g_\alpha{}^\beta = \Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\mu{}^\beta$

где $g$ является единичной матрицей. Я вижу, что оба $\mu$ представляет строки. Так что это не обычное умножение матриц. Как он может сказать, что $\alpha$ представляет строку и $\beta$ столбец в $g$ ? (Хорошо $\Lambda$ симметрична, но если мы не возьмем симметричную матрицу, я не знаю)

Qмеханик

↑

$\uparrow$ Видел где?

СлучайныйПреобразование Фурье

возможные дубликаты: индексы в шахматном порядке (

Λ^{μ}_{ν}

$\Lambda^\mu{}_\nu$ против.

Λ_{μ}^{ν}

$\Lambda_\mu{}^\nu$ ) о преобразованиях Лоренца , лоренц-инвариантности метрики Минковского и связях в них.

ДЖЭБ

это традиционно

μ, ν

$\mu, \nu$ , нет

u, v

$u,v$ .

Ответы (2)

Тензорный индекс в специальной теории относительности?

возможные дубликаты: индексы в шахматном порядке ( $\Lambda^\mu{}_\nu$ против. $\Lambda_\mu{}^\nu$ ) о преобразованиях Лоренца , лоренц-инвариантности метрики Минковского и связях в них.

вальбер97 · Answer 1

Здесь $\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\mu{}^\beta$ представлять матричное умножение. Но в матричном умножении элементы в строке должны быть умножены на элементы в столбце и добавлены. Здесь обозначение индекса означает, что каждый элемент столбца первой матрицы умножается на соответствующие элементы в другом столбце второй матрицы, а добавление означает, что две матрицы умножаются путем транспонирования первой матрицы. Транспонирование первой матрицы равно $(\Lambda^\mu{}_\alpha)^T= \Lambda_\alpha{}^\mu.$ Затем это становится путем отмены индекса $\Lambda_\alpha{}^\mu\Lambda_\mu{}^\beta=g_\alpha{}^\beta.$ Таким образом, очевидно, что $\alpha$ представлять строку и $\beta$ представлять столбец.

транспонирование матрицы Лоренца - это не то. Как вы можете видеть, когда я пишу их в своем вопросе
Первый индекс представляет строку, а второй — столбец. Выполнение транспонирования означает изменение порядка индекса, как показано. Как это может быть неправильно?

Дж. Г. · Answer 2

Вы можете проверить, что эти формулы удовлетворяют $\Lambda_\mu^{\:\nu}=\eta_{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}\Lambda_{\:\sigma}^\rho$ , поэтому уравнение, о котором вы спрашиваете, можно переписать как $\delta_\alpha^\beta=\Lambda^\mu_{\:\alpha}\eta_{\mu\rho}\eta^{\beta\sigma}\Lambda^{\:\rho}_\sigma$ , в котором используется только первая версия преобразования Лоренца. Точно так же вы можете переключиться только на использование второго, а именно. $\Lambda^\mu_{\:\nu}=\eta^{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}\Lambda_\rho^{\:\sigma}$ . Эти два преобразования эквивалентны, потому что

η^{мю р} η_{ν о} Λ_{р}^{о} "=" η^{мю р} η_{ν о} η_{р κ} η^{о λ} Λ_{λ}^{κ} "=" {дельта}_{κ}^{мю} η_{ν}^{λ} Λ_{λ}^{κ} "=" Λ_{ν}^{мю} .

$\eta^{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}\Lambda^{\:\sigma}_\rho=\eta^{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}\eta_{\rho\kappa}\eta^{\sigma\lambda}\Lambda_{\:\lambda}^\kappa=\delta^\mu_\kappa\eta_\nu^\lambda\Lambda_{\:\lambda}^\kappa=\Lambda_{\:\nu}^\mu.$

Тензорный индекс в специальной теории относительности?

Помни о смерти

Qмеханик

СлучайныйПреобразование Фурье

ДЖЭБ

Ответы (2)

вальбер97

Помни о смерти

вальбер97

Дж. Г.

Обозначение индекса и метрика Минковского

Если ΛΛ\Lambda не является тензором, то в чем смысл Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} и ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} и т. д.?

Как работает 4-векторная запись?

Обратное и транспонированное преобразование Лоренца.

Генераторы группы Лоренца: два метода

Вопросы по специальной теории относительности, индекс в матрице Лоренца

Что означает сокращение индексов матрицы Лоренца?

Почему (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Почему скалярное произведение двух четырехвекторов лоренц-инвариантно?

Работа с индексами тензоров в специальной теории относительности