Генераторы принадлежат группе Ли или алгебре Ли?

Будет ли правильно в статьях по физике сказать, что когда упоминаются генераторы, они действительно имеют в виду генераторы алгебры Ли, а не генераторы группы Ли? Например, я видел источники, в которых говорится, что С U ( Н ) группа имеет Н 2 − 1 генераторы, но на самом деле это генераторы для алгебры Ли, не так ли?

Верно ли это и для представлений? Когда мы говорим, что поле находится в присоединенном представлении, означает ли это обычно присоединенное представление алгебры, а не калибровочной группы?

Я дал другой ответ на physicsoverflow.org/8662.
по теме: физика.stackexchange.com/q/563709/ 226902

Ответы (2)

Если у вас есть базис для алгебры Ли, вы можете говорить об этих базисных векторах как о «генераторах для группы Ли». Это верно в том смысле, что, используя экспоненциальное отображение их линейных комбинаций, вы генерируете (по крайней мере, локально) копию группы Ли. Так что это своего рода «примитивные бесконечно малые элементы», из которых вы можете построить локальную структуру группы Ли.

Что касается вашего второго пункта, да, поля в калибровочных теориях обычно являются объектами со значениями алгебры Ли.

Большое спасибо за быстрый ответ на мой вопрос. Итак, я предполагаю, что в самом строгом смысле матрицы Паули не являются генераторами группы SU (2) (они не объединяются посредством группового действия для создания группы). Однако, как вы говорите, группу SU(2) можно получить из них через экспоненту их линейных комбинаций — поэтому мы называем их генераторами. Технически они являются генераторами su(2) (алгебры Ли). Как вы думаете, это хороший способ просмотреть его?
Я предполагаю, что они «генерируют» алгебру Ли в том смысле, что любой базис «генерирует» векторное пространство, которое он охватывает. Вы правы в том, что они не объединяются с помощью группового действия для создания группы, они объединяются с помощью экспоненциальной карты для ее создания.
Чтобы быть педантичным, даже экспоненты случайного базиса LA не обязательно порождают группу в теоретико-групповом смысле: например, возьмите грамм знак равно С 1 с грамм знак равно р , е Икс п ( Икс ) знак равно е я Икс , тогда Икс знак равно π является основой р (как и любой 0 ≠ Икс е р ), но е Икс п ( π ) знак равно − 1 просто генерирует двухэлементную подгруппу ± 1 . Что верно, так это то, что для любого такого базисного элемента Икс , опыт ⁡ ( р Икс ) является «однопараметрической» подгруппой группы грамм , и все это вместе порождало бы связную компоненту грамм (в приведенном выше примере С 1 уже знак равно е Икс п ( р ) .

Пользователь Twistor59 обратился к части, касающейся терминологии «генератор», но позвольте мне немного подробнее остановиться на второй части вопроса. Я собираюсь ограничить обсуждение матричными группами Ли для простоты.

Какой-то фон.

Учитывая группу Ли грамм с алгеброй Ли грамм , существуют два отображения А г а также а г , оба называются «присоединенными». В частности, для всех грамм е грамм и для всех Икс , Д е грамм , мы определяем А г грамм : грамм → грамм а также а г Икс по

А г грамм ( Икс ) знак равно грамм Икс грамм − 1 , а г Икс ( Д ) знак равно [ Икс , Д ]
Отображение А г который принимает элемент грамм е грамм и сопоставляет его с А г грамм представляет собой представление грамм действующий на грамм , а отображение а г который принимает элемент Икс е грамм и сопоставляет его с а г Икс представляет собой представление грамм действует на себя.

Другими словами, А г является представлением группы Ли, а а г является представлением алгебры Ли, но оба они действуют на алгебру Ли, которая является векторным пространством.

В сторону.

В ответ на комментарий пользователя Кристофа ниже. Заметим, что если мы определим операцию сопряжения с о н Дж по

с о н Дж грамм ( час ) знак равно грамм час грамм − 1
Тогда для матричных групп Ли (которыми я первоначально заявил, что ограничиваю обсуждение для простоты) мы имеем
г г т | т знак равно 0 с о н Дж грамм ( е т Икс ) знак равно А г грамм Икс

Обращение к вопросу.

Сказав все это, по моему опыту (в теории высоких энергий), физики обычно имеют в виду а г , представление алгебры Ли. На самом деле, в учебниках по физике вы часто будете видеть, что

генераторы Т а алгебры Ли дают присоединенное представление при условии ( Т а ) б б с знак равно ф а б а б с .

где ф - структурные константы алгебры Ли относительно базиса Т а ;

[ Т а , Т б ] знак равно ф а б а б с Т с
Но заметьте, что
а г Т а ( Т б ) знак равно [ Т а , Т б ] знак равно ф а б а б с Т с
что показывает, что матричные представления образующих в представлении алгебры Ли а г точно имеют записи, заданные структурными константами.

Приложение (22 мая 2013 г.).

Пусть поле со значениями в алгебре Ли ф на коллекторе М быть данным. Если поле преобразуется по представлению А г (что является представлением группы , действующей на алгебре), то мы имеем

ф ( Икс ) → А г грамм ( ф ( Икс ) ) знак равно грамм ф ( Икс ) грамм − 1
Но напомним, что ( см. здесь ) А г относится к а г (представление алгебры , действующей на себя) следующим образом: запишите элемент группы Ли как грамм знак равно е Икс для некоторых Икс в алгебре (здесь мы предполагаем, что грамм подключен) тогда
А г грамм ( ф ( Икс ) ) знак равно е а г Икс ф ( Икс ) знак равно ф ( Икс ) + а г Икс ( ф ( Икс ) ) + О ( Икс 2 )
так что соответствующий «бесконечно малый» закон преобразования
дельта ф ( Икс ) знак равно а г Икс ( ф ( Икс ) )
Поэтому, говоря о преобразовании поля при присоединенном представлении, А г а также а г в некотором смысле имеют одинаковое содержание; а г является «бесконечно малой» версией А г

не должен А г быть дифференциалом сопряжения вместо самого сопряжения, т.е. А г грамм знак равно Т е ( с о н Дж грамм ) : Т е грамм → Т е грамм , тогда как с о н Дж грамм : грамм → грамм ?
@Christoph Обратите внимание, что я предварил обсуждение, ограничившись матричными группами Ли. В данном случае определение, которое я дал, имеет смысл (хотя, возможно, оно и нестандартно). См . раздел В стороне . Что касается соглашений об именах для Ad v. conj, я следую соглашению из книги Брайана Холла « Группы лжи, алгебры лжи и представления» . В частности, см. с. 96.
ах... так что я упустил что-то очевидное, в частности, что для матричных групп, с о н Дж грамм является линейной картой и, следовательно, г г т | т знак равно 0 с о н Дж грамм ( опыт ⁡ т Икс ) знак равно с о н Дж грамм ( г г т | т знак равно 0 опыт ⁡ т Икс ) знак равно с о н Дж грамм ( Икс ) ; в любом случае +1
@Christoph Да, на самом деле я не думаю, что это вообще очевидно. Когда вы спросили об этом, я на мгновение запутался; Спасибо что подметил это.
@joshphysics Спасибо, Джош, я очень ценю это. Поэтому, когда мы говорим «поле», ф , находится в присоединенном представлении SU(2)' (в качестве произвольного примера), означает ли это, что матрицы, принадлежащие присоединенному представлению алгебры Ли (ad), являются матрицами, матрицы которых умножают поле ф ?
Между прочим, я разрывался, на кого нажать для принятого ответа. Оба действительно помогли мне, но twistor59 оказался первым.
@SirajRKhan Нет проблем. Да, это верно.
@joshphysics: да, я не думаю, что это на самом деле так очевидно, как я думал - мой аргумент работает для матричных групп, которые являются открытыми подмножествами р н × н , а вообще работает?
@Christoph Кристоф Да, я не уверен, как обычно это держится. Холл определяет матричную группу Ли как замкнутую подгруппу грамм л ( н , С ) , а затем использует соглашение, которое я использую в ответе для А г ...
@joshphysics: закрыто при групповой операции (что было бы излишним, но я слышал, что оно использовалось раньше), закрыто как в замкнутом многообразии (т.е. компактно и без границ) или топологически замкнуто ;) ; эти заметки к лекциям просто говорят: «Конечно, эта формула верна для любой матричной группы Ли , поэтому она действительно может быть тривиальной, даже если я ее еще не вижу ».
@Christoph Hall имеет в виду то, что по сути является топологически закрытым, используя понятие сходимости, которое он определил ранее.
@joshphysics Извините, что возвращаюсь к этому, но я считаю, что мой предыдущий комментарий был неправильным. Когда мы говорим «поле, ф находится в присоединенном представлении SU (2) ', это обычно означает, что поля преобразуются как ф → грамм ф грамм − 1 . Другими словами, когда мы говорим о полях и их калибровочных преобразованиях в физике, мы подразумеваем под «представлениями» групповое определение представления, а не определение алгебры Ли. Однако когда мы говорим, например, что SU(N) имеет Н 2 − 1 генераторы», мы на самом деле имеем в виду определение генератора в алгебре Ли (в отличие от генератора группы).
@SirajRKhan Я добавил дополнение, которое может помочь в этом отношении. И да, тогда физики ссылаются на генераторы в контексте групп Ли, они обычно имеют в виду элементы базиса для алгебры Ли группы.
Отличная экспозиция. Спасибо.
Генераторы принадлежат группе Ли или алгебре Ли?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v