Диагонализация матриц в SU(2) и SO(3)

Question

Диагонализация матриц в SU(2) и SO(3)

Физика
алгебра лжи
теория групп
групповые представления

пкджаг

В настоящее время я использую книгу Надри Дживанджи по теории групп, чтобы физики могли понять квантовую механику. Я наткнулся на эти две страницы , которые заставили меня застрять:

Пример 4.19 $SU(2)$ и $SO(3)$

В большинстве учебников по физике связь между $SO(3)$ и $SU(2)$ описывается в терминах «бесконечно малых образующих» этих групп. Мы обсудим бесконечно малые преобразования в следующем разделе, а затем свяжемся со стандартным изложением физики; здесь мы представляем отношение в терминах группового гомоморфизма $\rho:SU(2)\to SO(3)$ , определяемый следующим образом: рассмотрим векторное пространство (проверьте!) всех $2\times2$ бесследовые антиэрмитовы матрицы, обозначаемые как $\mathfrak{su}(2)$ (по причинам, которые мы объясним позже). Вы можете проверить, что произвольный элемент $X\in\mathfrak{su}(2)$ можно записать как
$\begin{matrix} (4.39) & Икс знак равно \frac{1}{2} (\begin{matrix} - я г & - у - я Икс \\ у - я Икс & я г \end{matrix}), Икс, у, г е р \end{matrix}$ $X=\frac12 \begin{pmatrix} -iz & -y -ix \\ y-ix & iz \end{pmatrix},\quad x,y,z\in\mathbb R\tag{4.39}$ Если взять за основу векторы $\begin{aligned} С_{Икс} & знак равно - \frac{я}{2} о_{Икс} знак равно \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & - я \\ - я & 0 \end{matrix}) \\ С_{у} & знак равно - \frac{я}{2} о_{у} знак равно \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ С_{г} & знак равно - \frac{я}{2} о_{г} знак равно \frac{1}{2} (\begin{matrix} - я & 0 \\ 0 & я \end{matrix}) \end{aligned}$ $\begin{align} S_x&=-\frac i2\sigma_x=\frac12 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \\ S_y&=-\frac i2\sigma_y=\frac12 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ S_z&=-\frac i2\sigma_z=\frac12 \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \\ \end{align}$ тогда у нас есть $Икс знак равно Икс С_{Икс} + у С_{у} + г С_{г}$ $X=xS_x + y S_y + z S_z$ поэтому вектор-столбец, соответствующий $X$ в основе $\mathcal B = \{ S_x, S_y, S_z\}$ является $[Икс] знак равно (\begin{matrix} Икс \\ у \\ г \end{matrix}) .$ $[X] = \begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}.$

Обратите внимание, что
$дет Икс знак равно \frac{1}{4} ({Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}) знак равно \frac{1}{4} ‖ Икс ‖^{2}$ $\det X = \frac14\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac14\|X\|^2$ поэтому определитель $X\in\mathfrak{su}(2)$ пропорциональна квадрату нормы $[X]\in\mathbb R^3$ с обычной евклидовой метрикой. Теперь вы проверите ниже, что $A\in SU(2)$ действует на $X\in\mathfrak{su}(2)$ по карте $X\mapsto AXA^\dagger$ , и что эта карта линейна. Таким образом, это отображение является линейным оператором на $\mathfrak{su}(2)$ , и может быть представлено в базисе $\mathcal B$ по $3\times 3$ матрица, которую мы будем называть $\rho(A)$ , так что $[AXA^\dagger]=\rho(A)[X]$ куда $\rho(A)$ действует на $[X]$ обычным умножением матриц. Более того, $\begin{matrix} (4.40) & ‖ р (А) [Икс] ‖ знак равно {‖ [А Икс А^{†}] ‖}^{2} знак равно 4 дет (А Икс А^{†}) знак равно 4 дет Икс знак равно {‖ [Икс] ‖}^{2} \end{matrix}$ $\left\|\rho(A)[X]\right\| = \left\|[AXA^\dagger]\right\|^2 = 4 \det(AXA^\dagger) = 4 \det X = \left\|[X]\right\|^2 \tag{4.40}$ так что $\rho(A)$ сохраняет норму $X$ . Отсюда следует (см. упражнение 4.19 ниже), что $\rho(A)\in O(3)$ , и действительно можно показать ¹³ , что $\det \rho(A) = 1$ , так что $\rho(A)\in SO(3)$ . Таким образом, мы можем построить карту $\begin{aligned} р : С U (2) & \to С О (3) \\ А & \mapsto р (А) \end{aligned}$ $\begin{align} \rho: SU(2) & \to SO(3) \\ A & \mapsto \rho(A) \end{align}$

Более того, $\rho$ является гомоморфизмом, так как
$\begin{aligned} р (А Б) [Икс] & знак равно [(А Б) Икс (А Б)^{†}] знак равно [А Б Икс Б^{†} А^{†}] знак равно р (А) [Б Икс Б^{†}] \\ (4.41) & знак равно р (А) р (Б) [Икс] \end{aligned}$ $\begin{align} \rho(AB)[X] & = \left[(AB)X(AB)^\dagger\right] = \left[AB X B^\dagger A^\dagger\right] =\rho(A) \left[BXB^\dagger\right] \\ & = \rho(A)\rho(B)[X] \tag{4.41} \end{align}$ и поэтому $\rho(AB) = \rho(A)\rho(B)$ . Является $\rho$ изоморфизм? Можно показать ¹⁴ , что $\rho$ находится на, но не один к одному, и на самом деле имеет ядро $K=\{I,-I\}$ . Из обсуждения, предшествующего этому примеру, мы знаем, что $\rho(A)=\rho(-A)\ \forall A\in SU(2)$ (этот факт также следует из определения $\rho$ ), поэтому для каждого оборота $R\in SO(3)$ соответствуют ровно две матрицы в $SU(2)$ что сопоставляется с $R$ под $\rho$ . Таким образом, при попытке реализовать вращение $R$ на спине $1/2$ частица у нас есть два варианта для $SU(2)$ мы используем матрицу, и иногда говорят, что карта $\rho^{-1}$ является двузначным . Однако в математических терминах обычно не говорят о функциях с несколькими значениями, поэтому вместо этого мы говорим, что $SU(2)$ это двойная обложка $SO(3)$ , так как карта $\rho$ находится на («обложке») и два к одному («двойной»).

У меня есть следующие вопросы:

Ранее я познакомился с процессом диагонализации матриц. Чего я не понимаю, так это того, что в данном случае диагонализируется, $X$ или $A$ ?
Последняя матрица в $SO(3)$ или $SU(2)$ ?
Соответствует ли этот процесс диагонализации смене базиса, и если да, то какой смысл в смене базиса?
Какое отображение соответствует $X$ будучи представленным в виде вектора в базисе $\{S_x,S_y,S_z\}$ ?
Кроме того, я просто не понимаю, что означает отображение 2-к-1?
Я также понимаю, что $X$ является алгеброй Ли, и чтобы найти ее группу Ли, вы должны возвести ее в степень: $e^{X}$ Я читал в учебнике по математике, что этот процесс также включает в себя диагонализацию. Но я просто не понимаю всего процесса и отношений между алгебрами Ли и группами Ли. Зачем нужно переключаться между ними?

УиллО

Первый,

X

$X$ не является алгеброй Ли; это элемент алгебры Ли su(2). Далее, структура алгебры Ли здесь совершенно неуместна; важно лишь то, что su(2) является трехмерным вещественным векторным пространством. В третьих,

A

$A$ является элементом

S U (2)

$SU(2)$ , но действует (ортогонально) на

s u (2)

$su(2)$ . Это определяет карту

ρ : S U (2) \to S O (3)

$\rho:SU(2) \rightarrow SO(3)$ . Я не понимаю, что означает «конечная матрица» или что «какое отображение соответствует

X

$X$ быть представленным как..." означает. Отображение 2-в-1 - это отображение

ρ

$\rho$ .

пкджаг

Где лежит матрица, полученная после процесса диагонализации?

УиллО

Какой процесс диагонализации?

пкджаг

А Икс А^{- 1}

$AXA^{-1}$ а что здесь диагонализируется? Я это понимаю

А^{†} знак равно А^{- 1}

$A^{\dagger}=A^{-1}$ в унитарных матрицах

УиллО

X

$X$ и

A X A^{- 1}

$AXA^{-1}$ роды

s u (2)

$su(2)$ , которое является трехмерным вещественным векторным пространством. Что касается того, «что подвергается диагонализации», вы, кажется, единственный, кто заинтересован в диагонализации чего-либо, поэтому вы единственный, кто может знать, о чем вы говорите.

УиллО

Кстати, можно обойти

s u (2)

$su(2)$ полностью, позволив

S U (2)

$SU(2)$ действовать на (трехмерном вещественном) векторном пространстве

V

$V$ чисто мнимых кватернионов. Для этого определите

S U (2)

$SU(2)$ со всеми единичными кватернионами, взяв матрицу с верхней строкой

(P, Q)

$(P,Q)$ к кватерниону

P + Q j

$P+Qj$ . Сейчас

S U (2)

$SU(2)$ действует на

V

$V$ по сопряжению. Предпочитаете ли вы

V

$V$ или

s u (2)

$su(2)$ зависит от тебя; все, что вам нужно, это трехмерное векторное пространство для

S U (2)

$SU(2)$ действовать.

УиллО

В ответ на ваше редактирование: 1) Ни то, ни другое. 2) Какая итоговая матрица? 3) Какой процесс диагонализации? 4) Отображение из

s u (2)

$su(2)$ к

R^{3}

${\mathbb R}^3$ это занимает

X

$X$ к его представлению в основе

⟨ S_{x}, S_{y}, S_{z} ⟩

$\langle S_x,S_y,S_z\rangle$ . 5) Отображение является 2-в-1, если прообраз каждой точки имеет мощность 2. 6)

X

$X$ не является алгеброй Ли.

неломад

Это может быть плохой идеей, так как было доказано, что Матрица опасна.

Ответы (4)

Диагонализация матриц в SU(2) и SO(3)

Первый, $X$ не является алгеброй Ли; это элемент алгебры Ли su(2). Далее, структура алгебры Ли здесь совершенно неуместна; важно лишь то, что su(2) является трехмерным вещественным векторным пространством. В третьих, $A$ является элементом $SU(2)$ , но действует (ортогонально) на $su(2)$ . Это определяет карту $\rho:SU(2) \rightarrow SO(3)$ . Я не понимаю, что означает «конечная матрица» или что «какое отображение соответствует $X$ быть представленным как..." означает. Отображение 2-в-1 - это отображение $\rho$ .
Где лежит матрица, полученная после процесса диагонализации?
$А Икс А^{- 1}$ $AXA^{-1}$ а что здесь диагонализируется? Я это понимаю $А^{†} знак равно А^{- 1}$ $A^{\dagger}=A^{-1}$ в унитарных матрицах
$X$ и $AXA^{-1}$ роды $su(2)$ , которое является трехмерным вещественным векторным пространством. Что касается того, «что подвергается диагонализации», вы, кажется, единственный, кто заинтересован в диагонализации чего-либо, поэтому вы единственный, кто может знать, о чем вы говорите.
Кстати, можно обойти $su(2)$ полностью, позволив $SU(2)$ действовать на (трехмерном вещественном) векторном пространстве $V$ чисто мнимых кватернионов. Для этого определите $SU(2)$ со всеми единичными кватернионами, взяв матрицу с верхней строкой $(P,Q)$ к кватерниону $P+Qj$ . Сейчас $SU(2)$ действует на $V$ по сопряжению. Предпочитаете ли вы $V$ или $su(2)$ зависит от тебя; все, что вам нужно, это трехмерное векторное пространство для $SU(2)$ действовать.
В ответ на ваше редактирование: 1) Ни то, ни другое. 2) Какая итоговая матрица? 3) Какой процесс диагонализации? 4) Отображение из $su(2)$ к ${\mathbb R}^3$ это занимает $X$ к его представлению в основе $\langle S_x,S_y,S_z\rangle$ . 5) Отображение является 2-в-1, если прообраз каждой точки имеет мощность 2. 6) $X$ не является алгеброй Ли.
Это может быть плохой идеей, так как было доказано, что Матрица опасна.

Эмилио Писанти · Answer 1

Здесь нет ничего диагонального. В отрывке, который вы цитируете, используется обозначение

А Икс А^{†} знак равно А Икс А^{- 1}

$AXA^\dagger = AXA^{-1}$ (поскольку

A

$A$ унитарно), что часто встречается в задачах диагонализации, но преобразование гораздо шире. Этот тип трансформации,

А \mapsto Б А Б^{- 1},

$A\mapsto BAB^{-1},$ известно как преобразование подобия матриц , и две матрицы

A

$A$ и

C

$C$ называются подобными тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица

B

$B$ такой, что

C = B A B^{- 1}

$C=BAB^{-1}$ .

Диагонализация — это процесс взятия матрицы $A$ и найти матрицу $C$ который похож на $A$ а еще диагональ.

Однако использование сходства как отношения и преобразования выходит далеко за рамки простой диагонализации — по сути, две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же линейную карту на двух разных основаниях. Таким образом, широкий спектр матричных свойств сохраняется благодаря сходству (хорошо изложенному в ссылке на Википедию выше), что является частью того, что делает отношения такими полезными.

УиллО · Answer 2

Структура алгебры Ли $su(2)$ здесь совершенно неуместно; все, что имеет значение, это то, что $su(2)$ является трехмерным вещественным векторным пространством, поэтому начните с того, что забудьте об алгебрах Ли.

элемент $A\in SU(2)$ действует на это трехмерное векторное пространство, отображая $X$ к $AXA^{-1}$ .

Поэтому элемент $A\in\pmatrix{P&Q\cr -\overline{Q}&\overline{P}\cr}$ в $SL(2)$ может быть представлено как вещественная матрица 3 на 3 $\rho(A)$ . Для вас было бы очень очень хорошим упражнением написать явную формулу для $\rho(A)$ с точки зрения $P$ и $Q$ --- не то чтобы конечный результат важен, но это зафиксирует в вашей голове именно то, что здесь происходит. Начнем, конечно, с вычисления того, как $A$ действует на каждый из трех известных базисных векторов для $su(2)$ ; это столбцы $\rho(A)$ .

Наконец, проверьте, что $\rho(A)$ в $SO(3)$ , так что вы сопоставили $SU(2)$ к $SO(3)$ . Будет очевидно, что $A$ и $-A$ идут в одно и то же место, поэтому отображение (по крайней мере) два к одному. Вы можете проверить далее, что это ровно два к одному.

Необязательный следующий шаг: закрепить в голове представление о том, что ничего о $su(2)$ имеет значение, кроме его трехмерности, определить $A$ с кватернионом $P+Qj$ и пусть он действует на трехмерное вещественное векторное пространство чисто мнимых кватернионов через сопряжение. Это другой путь к тому же результату, и он явно не имеет ничего общего с алгебрами Ли.

Наконец, я не понимаю ни одного из ваших вопросов о диагонализации или почему вы так стремитесь что-то диагонализовать. Поскольку именно вы приносите диагонализацию на стол, только вы можете знать, что вы хотите диагонализовать и почему.

Я действительно не понимаю, как это решает вопрос, разъясненный в комментариях, - если честно, это скорее запутает ОП, чем поможет.
@EmilioPisanty: ОП запутался в столь многих вещах, что, вероятно, безнадежно решить их все за один раз. Но я действительно думаю, что фундаментальная проблема заключается в том, что он понятия не имеет, чего автор пытается достичь здесь, то есть показать, что $SU(2)$ действует ортогонально в трехмерном вещественном векторном пространстве и поэтому отображается в $SO(3)$ . Я думаю, что упражнение по записи действия в явном виде во многом помогло бы прояснить (для ОП), в чем смысл всего этого
Аналог кватерниона, который упоминает WillO, набросан в последнем абзаце моего ответа Phys.SE здесь .

Qмеханик · Answer 3

В двух словах, первый основной момент заключается в том, что (с точностью до некоторых обычных констант) существует изоморфизм изометрической алгебры Ли $X\mapsto [X]$ между
- трехмерная алгебра Ли $(su(2),[\cdot,\cdot],\det(\cdot))$ бесследного антиэрмитизма $2\times 2$ матрицы, снабженные определителем в виде квадрата нормы, и
- трехмерное пространство $(\mathbb{R}^3, \times, |\cdot|^2)$ снабжен стандартным векторным векторным произведением и стандартным квадратом нормы.
(Структура алгебры Ли не играет роли в дальнейшем, поэтому достаточно представить отображение $X\mapsto [X]$ как изоморфизм изометрического векторного пространства.)
Второй важный момент заключается в том, что для каждого элемента группы $A\in SU(2)$ , карта $\rho(A):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ (который Надри Дживанджи определяет выше) является линейной изометрией . Следовательно, это ортогональное преобразование в трехмерном пространстве . $\mathbb{R}^3$ , который может быть представлен $3\times3$ ортогональная матрица (где мы используем стандартный ортонормированный базис в $\mathbb{R}^3$ ). Другими словами, карта $\rho$ это карта из $SU(2)$ к $O(3)$ .
Вышеупомянутое теперь можно подтянуть, чтобы показать, что $SU(2)$ представляет собой двойную обложку $SO(3)$ . Диагонализация нигде не используется, ср. Вопросы ОП.

больбтеппа · Answer 4

Учитывая волновую функцию $\psi = \psi(\vec{r})$ как функция вектора положения $\vec{r} = (x,y,z)$ в пространстве повороты вектора положения в конечном итоге зависят только от двух параметров $\phi$ и $\theta$ , в чем можно убедиться, выразив

\vec{р} знак равно Икс \hat{я} + у \hat{Дж} + г \hat{к}

$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ в сферических полярных координатах

\vec{р} знак равно р грех (θ) потому что (ф) \hat{я} + р грех (θ) грех (ф) \hat{Дж} + р потому что (θ) \hat{к} .

$\vec{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \hat{i} + r \sin(\theta) \sin(\phi)\hat{j} + r \cos(\theta)\hat{k}.$ Как представить вращения трехмерного вектора в двумерном пространстве? Ну, используя

р^{3} знак равно р \times С

$\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{C}$ мы могли бы рассматривать векторы вида

(Икс, у, г) \mapsto (г, Икс + я у) .

$(x,y,z) \mapsto (z,x+iy).$ Можем ли мы в этом новом пространстве построить матрицы вращения и отражения? Используя форму этих матриц , выраженную здесь , и используя ортонормированные векторы для составления столбцов матрицы вращения, мы берем единичный вектор, определяющий

\vec{r}

$\vec{r}$ :

{\vec{н}}_{\vec{р}} знак равно (н_{Икс}, н_{у}, н_{г}) \mapsto (н_{г}, н_{Икс} + я н_{у})

$\vec{n}_{\vec{r}} = (n_x,n_y,n_z) \mapsto (n_z,n_x + i n_y)$ и используйте такие векторы, чтобы построить наше вращение

[\begin{matrix} н_{г} & - (н_{Икс} + я н_{у})^{*} \\ н_{Икс} + я н_{у} & н_{г} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n_z & - (n_x + i n_y)^* \\ n_x + i n_y & n_z \end{bmatrix}$ и отражение

[\begin{matrix} н_{г} & н_{Икс} - я н_{у} \\ н_{Икс} + я н_{у} & - н_{г} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & - n_z \end{bmatrix}$ матрицы в этом новом пространстве. Как это обычно бывает, когда мы переходим от элемента группы Ли

e^{T}

$e^{T}$ к алгебре Ли

e^{T} = I + T

$e^{T} = I + T$ мы хотим получить его в форме

e^{i T^{'}} = I + i T^{'}

$e^{iT'} = I + iT'$ так что

e^{T} = e^{- i (i T)} = e^{- i T^{'}} = I - i T^{'}

$e^{T} = e^{-i(iT)} = e^{-iT'} = I - iT'$ , таким образом, учитывая приведенные выше матрицы, мы добавляем

1 = - i i

$1 = - i i$ к этому, так что наша матрица отражения становится

я [\begin{matrix} - я н_{г} & - н_{у} - я н_{Икс} \\ н_{у} - я н_{Икс} & я н_{г} \end{matrix}]

$i \begin{bmatrix}- i n_z & - n_y - in_x \\ n_y - in_x & i n_z \end{bmatrix}$ давая

[\begin{matrix} - я н_{г} & - н_{у} - я н_{Икс} \\ н_{у} - я н_{Икс} & я н_{г} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}- i n_z & - n_y - in_x \\ n_y - in_x & i n_z \end{bmatrix}$ в вашем посте. Сейчас,

(n_{x}, n_{y}, n_{z})

$(n_x,n_y,n_z)$ является единичным вектором, если мы выберем

(н_{Икс}, н_{у}, н_{г}) знак равно \hat{я} знак равно (1, 0, 0)

$(n_x,n_y,n_z) = \hat{i} = (1,0,0)$ получаем перед добавлением

1 = - i i

$1 = -ii$ :

(н_{Икс}, н_{у}, н_{г}) знак равно \hat{я} знак равно (1, 0, 0) \mapsto о_{Икс} знак равно [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$(n_x,n_y,n_z) = \hat{i} = (1,0,0) \mapsto \sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ по аналогии

(0, 1, 0) знак равно \hat{Дж} \mapsto о_{у} знак равно [\begin{matrix} 0 & - я \\ я & 0 \end{matrix}]

$(0,1,0) = \hat{j} \mapsto \sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{bmatrix}$ и аналогично для

σ_{z}

$\sigma_z$ , отсюда легко получить

- i σ_{x}, - i σ_{y}, - i σ_{z}

$- i \sigma_x, - i \sigma_y, - i \sigma_z$ .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ нормализация происходит от выработки коммутационных соотношений (я думаю), проверьте это сами. Обратите внимание, что я использовал ортонормированные векторы-столбцы, но мне это не нужно.

Таким образом, если $\vec{r} = (x,y,z)$ представлен $X = \begin{bmatrix}- i z & y - ix \\ y - ix & i z \end{bmatrix}$ , мы можем представить вращение на $\vec{r}$ по другой матрице $A$ в этом пространстве действует на $X$ от

{Икс}^{'} знак равно А Икс А^{+}

$X' = AXA^+$ и мы знаем, что это представляет собой вращение, потому что

дет ({Икс}^{'}) знак равно дет (А Икс А^{+}) знак равно дет (Икс)

$\det(X') = \det(AXA^+) = \det(X)$ сохраняет длину вектора

\vec{r}

$\vec{r}$ , который является определителем этой матрицы.

Итак, прямо сейчас мы ответили на 4. в вашем списке и проиллюстрировали идею 6., о которой вы можете полностью прочитать здесь , давайте перейдем к 5.:

Отображение двойного покрытия 2-1 исходит из следующего: Обратите внимание на представление в сферических координатах.

\vec{р} знак равно р грех (θ) потому что (ф) \hat{я} + р грех (θ) грех (ф) \hat{Дж} + р потому что (θ) \hat{к}

$\vec{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \hat{i} + r \sin(\theta) \sin(\phi)\hat{j} + r \cos(\theta)\hat{k}$ принимает ориентацию, когда мы вращаемся. Другими словами, матрица вращения задается двумя ортонормированными базисными векторами, и они ориентированы определенным образом (вспомните правило правой руки), но нет никаких причин, по которым мы не могли бы начать с противоположной ориентации. Этот вектор представляет собой эффект элемента

S O (3)

$SO(3)$ на векторе положения, но моя конструкция двумерного пространства для представления трехмерных вращений позволяет обеим ориентациям жить в этом пространстве, поэтому, если

{Икс}^{'} знак равно А Икс А^{+}

$X' = AXA^+$ является эффектом вращения с вышеуказанной ориентацией, мы можем сказать

{Икс}^{'} знак равно (- А) Икс (- А)^{+}

$X' = (-A)X(-A)^+$ является эффектом вращения с противоположной ориентацией, но

{Икс}^{'} знак равно (- А) Икс (- А)^{+} знак равно А Икс А^{+}

$X' = (-A)X(-A)^+ = AXA^+$ так что у вас есть два поворота, сопоставленные с одним и тем же элементом, двойное покрытие!

Многое из этого кратко изложено здесь и в этой книге .

Диагонализация матриц в SU(2) и SO(3)

пкджаг

УиллО

пкджаг

УиллО

пкджаг

УиллО

УиллО

УиллО

неломад

Ответы (4)

Эмилио Писанти

УиллО

Эмилио Писанти

УиллО

Qмеханик

Qмеханик

больбтеппа

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

Коэффициенты связи в SO(4)

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Заряд поля под действием группы

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Насколько уникальны квантовые числа, которые мы обычно используем?

Почему SU(3)SU(3)SU(3) имеет восемь генераторов?

Единственность выражения элемента группы Ли

Антикоммутатор генераторов SU(N)SU(N)SU(N)