Генерация стационарных конфигураций модели Изинга

Question

Генерация стационарных конфигураций модели Изинга

Физика
Изинг-модель
симуляции
вычислительная физика
статистическая механика

ФортепианоЭнтропия

Каков наиболее эффективный способ моделирования стационарных конфигураций модели Изинга? Меня просто интересует наличие большого набора случайных устойчивых конфигураций одномерной модели Изинга (с однородными константами связи). Пришло в голову несколько идей:

Выборка грубой силы. Поскольку модель Изинга точно решаема в 1D и 2D, можно получить точные выражения для вероятностей каждого состояния. Однако случайная выборка из множества $2^N$ вероятно вызовет проблемы с памятью для небольших $N$ уже.
Динамика Монте-Карло. Можно запустить обычные алгоритмы Монте-Карло (например, динамику Глаубера) на случайных начальных состояниях и подождать, пока система не сойдется к тепловому равновесию. Однако это кажется неэффективным, когда вы не заинтересованы в динамике и хотите только стабильные конфигурации.
Использование плотности состояний. Можно также сначала случайным образом выбрать энергию системы, согласно $P(E) \sim N(E) \exp(-\beta E)$ , где $N(E)$ — плотность состояний, которая вычислима (по крайней мере, численно). Затем генерируется случайная конфигурация с этой энергией, например, с использованием алгоритма переворота спина, где одиночные спины переворачиваются для увеличения/уменьшения энергии до тех пор, пока она не совпадет с целевой энергией. Но я не уверен, что полученные таким образом конфигурации статистически соответствуют распределению Больцмана.

Примечание: в 1D также есть точное выражение для изинговской плотности состояний, $g(E(k)) = 2 \binom{N-1}{k}$ с $E(k) = -N + 2k + 1$ . См. этот другой вопрос: плотность состояний модели Изинга .

Любые идеи о том, как лучше всего подойти к этому?

Ответы (1)

Генерация стационарных конфигураций модели Изинга

Иван Веленик · Answer 1

Для одномерной модели наиболее эффективным способом симуляции модели Изинга на сегодняшний день является использование цепи Маркова на $\{-1,1\}$ , генерируя по одному вращению за раз, в зависимости от значений, принятых предыдущими вращениями. Также обратите внимание, что таким образом вы делаете выборку точно из распределения Гиббса, без аппроксимации (в отличие от подхода Монте-Карло).

Для простоты рассмотрим модель со свободным граничным условием, т. е. модель с гамильтонианом

β ЧАС "=" - β \sum_{я "=" 2}^{Н} о_{я - 1} о_{я} .

$\beta\mathcal{H} = - \beta\sum_{i=2}^N \sigma_{i-1}\sigma_i .$ (Вы также можете добавить магнитное поле, но я не буду этого делать здесь, чтобы упростить изложение). Затем,

σ_{1}

$\sigma_1$ равно

+ 1

$+1$ или

- 1

$-1$ с вероятностью

\frac{1}{2}

$\tfrac12$ по симметрии. Более того, для любого

k \geq 2

$k\geq 2$ ,

п р о б (о_{к} "=" о_{к - 1} | о_{1}, \dots, о_{к - 1}) "=" п р о б (о_{к} "=" о_{к - 1}) "=" \frac{е^{β}}{е^{β} + е^{- β}} "=" \frac{1}{1 + е^{- 2 β}} .

$\mathrm{Prob}(\sigma_k=\sigma_{k-1} \,|\, \sigma_1, \dots, \sigma_{k-1}) = \mathrm{Prob}(\sigma_k=\sigma_{k-1}) = \frac{e^{\beta}}{e^{\beta} + e^{-\beta}} = \frac{1}{1+e^{-2\beta}}.$ Назовем эту вероятность

p

$p$ .

Обобщить:

Вы пробуете $\sigma_1$ : это $+1$ с вероятностью $\tfrac12$ и $-1$ с вероятностью $\tfrac12$ .
Данный $\sigma_1$ , Ты устанавливаешь $\sigma_2 = \sigma_1$ с вероятностью $p$ и $\sigma_2 = -\sigma_1$ с вероятностью $1-p$ .
Данный $\sigma_2$ , Ты устанавливаешь $\sigma_3 = \sigma_2$ с вероятностью $p$ и $\sigma_3 = -\sigma_2$ с вероятностью $1-p$ .
и так далее...

Это очень легко реализовать и очень быстро (конечно, вычислить $p=1/(1+e^{-2\beta})$ только один раз). Затем большую часть времени занимает генерация псевдослучайных чисел. Таким образом, вы можете без проблем моделировать цепочки сколь угодно большой длины.

(См. также этот ответ для другой точки зрения на отношения между одномерными моделями и цепями Маркова.)

Объяснение формулы для $p$ .

Самый простой способ понять, почему формула для $p$ приведенное выше выполняется с использованием либо случайного кластера, либо высокотемпературных представлений модели Изинга, если вы знакомы с ними (они описаны, например, в разделах 3.7.3 и 3.10.6 в этой книге ) . .

Если вы не знакомы с этими представлениями, позвольте мне попытаться привести прямой аргумент.

Позволять $s_1,\dots,s_N \in \{-1,1\}$ и написать $s=(s_1,\dots,s_{k-1},s_k,\dots,s_N)$ и $s'=(s_1,\dots,s_{k-1},-s_k,\dots,-s_N)$ (то есть конфигурация $s'$ получается из конфигурации $s$ переворачивая спины на $k, k+1, \dots N$ ).

Сейчас,

\frac{п р о б (о "=" с)}{п р о б (о "=" с^{'})} "=" \frac{опыт (- β ЧАС (с))}{опыт (- β ЧАС (с^{'}))} "=" опыт (2 β с_{к - 1} с_{к}) .

$\frac{{\rm Prob}(\sigma = s)}{{\rm Prob}(\sigma = s')} = \frac{\exp\bigl( -\beta \mathcal{H}(s) \bigr)}{\exp\bigl( -\beta\mathcal{H}(s') \bigr)} = \exp(2\beta\, s_{k-1}s_{k}).$ В частности,

\frac{п р о б (о_{к} "=" о_{к - 1})}{п р о б (о_{к} "=" - о_{к - 1})} "=" опыт (2 β) .

$\frac{{\rm Prob}(\sigma_k=\sigma_{k-1})}{{\rm Prob}(\sigma_k = -\sigma_{k-1})} = \exp(2\beta).$ Но это подразумевает, что

п р о б (о_{к} "=" о_{к - 1}) "=" е^{2 β} п р о б (о_{к} "=" - о_{к - 1}) "=" е^{2 β} (1 - п р о б (о_{к} "=" о_{к - 1})),

${\rm Prob}(\sigma_k=\sigma_{k-1}) = e^{2\beta}\, {\rm Prob}(\sigma_k = -\sigma_{k-1}) = e^{2\beta} \bigl( 1 - {\rm Prob}(\sigma_k = \sigma_{k-1}) \bigr),$ и поэтому

(1 + е^{2 β}) п р о б (о_{к} "=" о_{к - 1}) "=" е^{2 β},

$(1+e^{2\beta})\, {\rm Prob}(\sigma_k=\sigma_{k-1}) = e^{2\beta},$ откуда формула для

p

$p$ следует немедленно.

Спасибо, это определенно то, что я искал! Мне просто интересно, как вывести условную вероятность, которую вы записали. Это кажется очень интуитивным, но почему-то я не понимаю, как его вывести. Мне интересно, легко ли это увидеть или это следует из свойств цепи Маркова, на которые вы ссылаетесь в своем другом ответе (который я не совсем понимаю).
Я добавил прямой вывод. Идея предельно проста: если перевернуть спин $\sigma_k$ и все вращения справа, то вы меняете энергию на $\pm 2$ , в зависимости от того, является ли спин $\sigma_k$ согласен с $\sigma_{k-1}$ до или после флипа. В любом случае отношение вероятностей будет равно $e^{\pm 2\beta}$ , откуда формула для $p$ легко следует. Более подробная информация указана в ответе.
Я вижу смысл, а также думаю, что это имеет смысл. Однако при выводе вы предполагаете, что для состояния $s'$ , $s_k, \ldots s_N$ все перевернуты, что необходимо для сведения первой формулы к одному члену. Но меня это смущает, потому что кажется, что мы накладываем дополнительные условия на $s_{k+1}, \ldots s_{N}$ здесь.
На самом деле, у меня есть некоторые сомнения сейчас. Из этой конструкции, $P(\sigma_{k+l} = \sigma_{k}) = \prod_{i=1}^{l} P(\sigma_{k+i} = \sigma_{k+i-1}) = p^{l}$ . Но это означало бы, что двухточечная корреляционная функция $\langle \sigma_{k} \sigma_{k+l} \rangle = 2 P(\sigma_{k+l} = \sigma_{k}) - 1$ будет распадаться как степенной закон, верно? Но мы знаем, что вместо этого он затухает экспоненциально.
Нет, мы не добавляем условия на $s_{k+1},\dots,s_N$ . При вычислении вероятности того, что $\sigma_k=\sigma_{k-1}$ , необходимо просуммировать по всем допустимым конфигурациям $s$ (то есть такие, что $s_{k}=s_{k-1}$ ). Каждой такой конфигурации соответствует ровно одна конфигурация, в которой $s_{k}=-s_{k-1}$ , полученный переворачиванием спинов справа от $s_{k-1}$ . При этом для каждой из этих пар конфигураций отношение вероятностей одинаково $e^{2\beta}$ . Отсюда следует, что отношение вероятностей того, что $\sigma_k=\sigma_{k-1}$ и $\sigma_k=\sigma_{k-1}$ это также $e^{2\beta}$ .
$p^l = \exp(- l \cdot |\log p|)$ экспоненциально затухать с $l$ , так что я не понимаю вашего вопроса...
Да, извините, не обращайте внимания на экспоненту... Спасибо, это проясняет для меня!

Генерация стационарных конфигураций модели Изинга

ФортепианоЭнтропия

Ответы (1)

Иван Веленик

ФортепианоЭнтропия

Иван Веленик

ФортепианоЭнтропия

ФортепианоЭнтропия

Иван Веленик

Иван Веленик

ФортепианоЭнтропия

Я получаю странные автокорреляции при моделировании модели Изинга ниже критической температуры.

Переворот более одного спина в алгоритмах Metropolis Monte Carlo

Критическая температура и размер решетки с помощью алгоритма Вольфа для двумерной модели Изинга

Локальные минимумы в модели Изинга в моделировании Монте-Карло

Критическое замедление в симуляциях Монте-Карло (MC)

Как определить равновесие в моделировании Монте-Карло NVTNVTNVT?

Размерность гамильтониана и диагональность

Шаги Монте-Карло в алгоритме Метрополиса модели Изинга

Наблюдаемые модели Изинга

Правильное вычисление энтропии во время моделирования молекулярной динамики