Наблюдаемые модели Изинга

Question

Наблюдаемые модели Изинга

Физика
Изинг-модель
вычислительная физика
статистическая механика

Абдул

Существует ли формула или уравнение, связывающее $\langle E\rangle$ и $\langle M\rangle$ (среднее вращение на сайте) и $\langle E^2\rangle$ к температуре $T$ для модели Изинга с квадратной решеткой при нулевом магнитном поле? Я сделал несколько симуляций и знаю, как примерно должны выглядеть графики, но есть ли для них какое-то четкое выражение?

И известны ли точные функции для конечных размеров сетки?

Тримок

В конце Square-lattice_Ising_model у вас есть значение свободной энергии, внутренней энергии и намагниченности в пределе

N \to + \infty

$N \rightarrow +\infty$

Тримок

Определения внутренней энергии и свободной энергии являются общими термодинамическими определениями из статистической суммы. Я полагаю, в вашем случае, что ваш

< E >

$<E>$ соответствует внутренней энергии. Внутренняя энергия - это полная энергия, содержащаяся в термодинамической системе. (Гиббс) свободная энергия измеряет работу, получаемую от термодинамической системы.

Абдул

Каково определение свободной энергии и внутренней энергии для квадратной решетки? Моя Энергия есть произведение его вращения и суммы четырех соседних вращений.

Тримок

Намагниченность при

T > T c

$T>Tc$ должно быть равно нулю. Вы должны перейти к началу статьи в Википедии - Определение модели - чтобы увидеть используемые переменные.

K, L, J, J *

$K,L,J,J*$ .

Ответы (2)

Наблюдаемые модели Изинга

В конце Square-lattice_Ising_model у вас есть значение свободной энергии, внутренней энергии и намагниченности в пределе $N \rightarrow +\infty$
Определения внутренней энергии и свободной энергии являются общими термодинамическими определениями из статистической суммы. Я полагаю, в вашем случае, что ваш $<E>$ соответствует внутренней энергии. Внутренняя энергия - это полная энергия, содержащаяся в термодинамической системе. (Гиббс) свободная энергия измеряет работу, получаемую от термодинамической системы.
Каково определение свободной энергии и внутренней энергии для квадратной решетки? Моя Энергия есть произведение его вращения и суммы четырех соседних вращений.
Намагниченность при $T>Tc$ должно быть равно нулю. Вы должны перейти к началу статьи в Википедии - Определение модели - чтобы увидеть используемые переменные. $K,L,J,J*$ .

jgyou · Answer 1

Онзагер вычислил статистическую сумму двумерной периодической квадратной решетки (тороидальные границы) модели Изинга. Возможно, это одно из самых элегантных доказательств современной статистической механики.

Оригинал документа доступен на веб-сайте APS ниже: (вам потребуется институциональный доступ)

Л. Онсагер, " Статистика кристаллов. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок ", Phys. Ред. (65), 1944 г. Ссылка

Хотя я нашел его на каком-то университетском сервере: http://www.colorado.edu/physics/phys7230/phys7230_sp08/Onsager1944.pdf

По существу, он получает статистическую сумму

Z (β, Н, ЧАС "=" 0) "=" (2 чушь (2 β Дж) е^{я})^{Н}

$Z(\beta,N,H=0)=(2\cosh(2\beta J) e^I)^N$ с

я "=" \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} г ф п (\frac{1}{2} [1 + (1 - κ^{2} {грех}^{2} ф)^{1 / 2}])

$I=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi d\phi\ln\left(\frac{1}{2}\left[1+(1-\kappa^2\sin^2\phi)^{1/2}\right]\right)$ где

κ "=" \frac{2 грех (2 β Дж)}{{чушь}^{2} (2 β Дж)}

$\kappa=\frac{2\sinh(2\beta J)}{\cosh^2(2\beta J)}$

Оттуда можно применять традиционные канонические ансамблевые техники. Обратите внимание, что свободная энергия, связанная с $Z(\beta,N,0)$ не является аналитическим и что фазовый переход возникает, когда $\kappa=1$ . Это правильно предсказывает, что $T_c=\frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})}$

Роберт Рюгер · Answer 2

Да, эти уравнения существуют и могут быть получены из статистической суммы в ответе JGab.

Внутренняя энергия на один оборот равна:

ты (β) "=" - \frac{\partial}{\partial β} (п (2) + \frac{1}{8 π^{2}} \int_{0}^{2 π} г д_{1} \int_{0}^{2 π} г д_{2} п [(1 - грех (2 β Дж))^{2} + грех (2 β Дж) (2 - потому что д_{1} - потому что д_{2})])

$u(\beta) = - \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \ln(2) + \frac{1}{8 \pi^2} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} q_1 \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} q_2 \\\ln \left[ \big( 1 - \sinh(2 \beta J) \big)^2 + \sinh(2 \beta J) \left( 2 - \cos q_1 - \cos q_2 \right) \right] \right)$

Спонтанная намагниченность на спин равна:

м_{с} (Т) "=" {\begin{cases} {(1 - {грех}^{- 4} (2 β Дж))}^{\frac{1}{8}} & для Т < Т_{с} \\ 0 & для Т \geq Т_{с} \end{cases}

$m_s(T) = \begin{cases} \left( 1 - \sinh^{-4} (2 \beta J) \right)^{\frac{1}{8}} & \text{for } T < T_c \\ \hskip 1.5cm 0 & \text{for } T \geq T_c \end{cases}$ Обратите внимание, что это, строго говоря, не намагниченность

⟨ m ⟩

$\langle m \rangle$ вы просили, но это предел

м_{с} "=" \underset{Б \to 0^{+}}{лим} \underset{Н \to \infty}{лим} ⟨ м ⟩

$m_s = \lim_{B \rightarrow 0^+} \lim_{N \rightarrow \infty} \langle m \rangle$ где два предела не коммутируют. См. этот вопрос для обсуждения этого важного момента.

Чтобы завершить этот отличный ответ, обратите внимание, что $\langle m\rangle = 0$ для $B=0$ , в силу знаковой симметрии. Поэтому нужно ввести внешнее поле $B$ чтобы получить ненулевой ответ, что объясняет, почему предел $B\rightarrow 0^+$ берется здесь,

Наблюдаемые модели Изинга

Абдул

Тримок

Тримок

Абдул

Тримок

Ответы (2)

jgyou

Роберт Рюгер

беко

Генерация стационарных конфигураций модели Изинга

Я получаю странные автокорреляции при моделировании модели Изинга ниже критической температуры.

Переворот более одного спина в алгоритмах Metropolis Monte Carlo

Численная модель Изинга: алгоритм Свенсена-Ванга, теория перколяции?

Критическая 2d модель Изинга

Модель Изинга Моделирование методом Монте-Карло в 4D и 5D

Существует ли перенормировка для двумерного измерения, дающая точную критическую связь, и почему?

Как понять двухточечную корреляционную функцию в импульсном пространстве?

Какова информационная геометрия одномерной модели Изинга для сложного магнитного поля?

Сколько существует решений Онзагера?