Критическое замедление в симуляциях Монте-Карло (MC)

Вот что я понял из критического замедления.

Когда мы находимся вблизи фазового перехода, время автокорреляции т очень долго.

Представьте, что мы проводим моделирование МК на ферромагнетике вблизи Т с где Т с – температура фазового перехода. Мы изучаем наблюдаемое М что является полной намагниченностью. Дело в том, что т физически означает, что если я нахожусь в микросостоянии с намагниченностью, далекой от средней намагниченности, для моделирования потребуется много времени (много шагов), чтобы получить доступ к микросостояниям, намагниченность которых близка к средней намагниченности.

И, поскольку микросостояния, которые имеют намагниченность, близкую к средней намагниченности, имеют большую статистическую значимость в расчетах, это означает, что у нас будет очень плохая статистика, если мы не будем проводить выборку достаточно долго.

Мои вопросы:

Ответы (1)

1) Вблизи фазового перехода второго рода корреляционная длина очень велика и имеются флуктуации на всех масштабах. Это означает, что локальный алгоритм будет иметь трудности с эффективной выборкой пространства соответствующих конфигураций. Средняя намагниченность на самом деле может быть более или менее правильной, но более сложные наблюдаемые (более высокие моменты M, корреляционные функции и т. д.) трудно вычислить.

2) Рассмотрим теорию фазовых переходов Ландау. Функционал свободной энергии равен

Ф "=" ∫ г Икс [ κ ( ∇ М ) 2 + а М 2 + б М 4 + … ]
а корреляционная длина (в неупорядоченной фазе) равна ξ ∼ 1 / а . На фазовом переходе а → 0 и ξ → ∞ . Колебания изменяют простое масштабирование среднего поля, и ξ ∼ 1 / т ν где т это пониженная температура и ν является критическим показателем.

3) Для изучения времени релаксации мы должны сделать теорию Ландау зависимой от времени. Это приводит к гидродинамической теории, известной как модель А. Уравнение движения имеет вид

∂ т М "=" − Д дельта Ф дельта М
который имеет собственные моды вида ю к "=" я Д ( к 2 + а ) . Обычно время релаксации конечно, но вблизи критической точки а → 0 и ю к ∼ я к 2 , так что моды с волновым числом к ∼ 1 / ξ расслабиться на время т ∼ ξ 2 . Опять же, это среднее поле, и более сложный анализ дает т ∼ ξ г с критическим показателем z.

4) Кластерные алгоритмы выполняют обновления во всех масштабах и лучше фиксируют физику в 2),3).

Критическое замедление в симуляциях Монте-Карло (MC)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v