Размерность гамильтониана и диагональность

Часто в литературе по физике конденсированного состояния можно встретить гамильтониан, который выглядит примерно так:

ЧАС "=" ∑ я "=" 1 н Дж я   С я г С я + 1 г ,
где Дж я константы связи, С я г представляющий спиновый оператор С г действующий в я й сайт и н общее количество сайтов (возможно, с кольцевой идентификацией). Сейчас, С г это 2 × 2 матрица со спином в любом конкретном узле 2 × 1 матрица или вектор-столбец.

Если бы кто-то знал волновую функцию, подобную | ψ ⟩ "=" ⋯ ⊗ | я ⟩ ⊗ | я + 1 ⟩ ⊗ ⋯ , то было бы легко просто применить гамильтониан и делать все, что угодно. Но предположим, что у меня нет этого | ψ ⟩ и нужно прямо диагонализовать ЧАС чтобы вычислить его собственные значения и собственные векторы (например, при моделировании такой модели на решетке на компьютере), как мне это сделать?

Как бы убедиться, что С я г отличается от С я + 1 г ? Единственный способ сделать это — запустить их на каком-то предполагаемом (случайном) вращении, существующем на их сайтах. Но если это сделать, то гамильтониан будет суммой произведения двух 2 × 1 матрицы ( [ 2 × 2 ]   *   [ 2 × 1 ] → [ 2 × 1 ] матрица), что не имеет смысла!

Может ли кто-нибудь уточнить, где я ошибаюсь? По сути, я хочу диагонализовать гамильтониан приведенной выше формы на компьютере (используя, скажем, Mathematica, которая имеет встроенные функции для получения собственных значений и собственных векторов), не зная собственных функций.

Редактировать: после дальнейшего размышления, сказав, что вращение на любом конкретном сайте является 2 × 1 матрица, я неявно предполагаю, что это нетензорное состояние? Даже если это правда, как это поможет определить правильную размерность гамильтониана для его диагонализации?

Ответы (1)

Размерность гильбертова пространства

Гильбертово пространство спиновой цепи длины н задается тензорным произведением н копии гильбертова пространства одного спина. Предположим, мы говорим о спин- 1 2 , размерность пространства 2 н .

В этом контексте «оператор, действующий на один спин» означает 2 н -мерный оператор, полученный как тензорное произведение двумерного оператора с н − 1 копии двумерного тождества, так что действие на другие спины тривиально.

Например, учитывая ( 2 × 2 ) Матрица Паули о г ,

С я г "=" я 2 ⊗ ⋯ ⊗ я 2 ⏟ я − 1 ⊗ о г ⊗ я 2 ⊗ ⋯ ⊗ я 2 ⏟ н − я .

Точно так же оператор «двух тел» С я г С я + 1 г можно явно написать

С я г С я + 1 г "=" я 2 ⊗ ⋯ ⊗ я 2 ⏟ я − 1 ⊗ о г ⊗ о г ⊗ я 2 ⊗ ⋯ ⊗ я 2 ⏟ н − я − 1 ,
и так далее.

Численная диагонализация

Диагонализация такого гамильтониана численно является трудной задачей. В принципе, с приведенными выше выражениями вы можете явно построить матрицу на своем любимом языке программирования (например, в Mathematica, используя KroneckerProductи PauliMatrix). Однако, как отмечалось выше, размер растет экспоненциально с количеством спинов, а это означает, что вы даже не сможете добраться до н ≈ 20 .

Поэтому нужно найти более разумные способы делать вещи; например, отправной точкой было бы представление ЧАС как разреженная матрица. Это активная область исследований, и даже с современными алгоритмами и большими компьютерами люди могут решить задачу максимум за несколько десятков спинов.

Размерность гамильтониана и диагональность
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v