Геодезические в AdS3AdS3\text{AdS}_3

У меня возникли проблемы с выполнением простых вычислений с помощью Объявления космос. я считаю Объявления 3 пространство с координатами Пуанкаре, поэтому метрика читается

г с 2 "=" р 2 г 2 ( г г 2 − г т 2 + г Икс 2 ) .

Я хочу вычислить геодезические для т "=" константа срез, чтобы получить голографическую энтропию запутанности для области Икс е [ − л / 2 , + л / 2 ] , как описано в этой статье (ур. 12-14).

Итак, я установил т "=" константа и я вычисляю уравнения геодезических:

г ¨ + 1 г ( − г ˙ 2 + Икс ˙ 2 ) "=" 0.

Икс ¨ − 2 г г ˙ Икс ˙ "=" 0.

Как говорится в статье, решение должно быть полуокружностью Икс "=" ( л 2 ) 2 − г 2 , или записать в параметрической форме:

Икс "=" − л 2 потому что ⁡ π λ

г "=" л 2 грех ⁡ π λ

с λ е [ 0 , 1 ] .

Но если я подставлю это решение в уравнения геодезических, они не будут удовлетворены. Итак, что, по вашему мнению, является моей проблемой?

Ответы (1)

Аффинное геодезическое уравнение (GE)

(1) г 2 Икс мю г λ 2 + Г α β мю г Икс α г λ г Икс β г λ   "="   0

зависит от параметризации: Аффинное ОУ (1) имеет место, когда параметр λ аффинно связано с длиной дуги с "=" а λ + б геодезической.

Это можно, например, вывести из того факта, что ур. (1) не является инвариантным относительно репараметризации мировых линий λ → λ ~ . ОЭ для общей параметризации содержит дополнительный член, пропорциональный скорости:

(2) г 2 Икс мю г λ 2 + Г α β мю г Икс α г λ г Икс β г λ   ∝   г Икс мю г λ .

Спасибо. У меня есть это. Уравнение геодезических для неаффинной параметризации имеет вид
Икс ¨ мю + Г α β мю Икс ˙ α Икс ˙ β "=" ф ( λ ) Икс ˙ мю
где, ф ( λ ) — некоторая функция, подлежащая определению. Решение удовлетворяет GE с ф ( λ ) "=" − π с о т а н π λ для моей параметризации.
Геодезические в AdS3AdS3\text{AdS}_3
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v