Геометрическое доказательство количества точек решетки в трехмерной решетке

Хорошо известно, что количество точек решетки в трехмерных (3D) объектах простой кубической решетки, объемно-центрированной кубической решетки и гранецентрированной кубической решетки составляет 1, 2 и 4 соответственно (источник ) . Чего я не понимаю, так это того, как доказать, что значение каждой точки решетки в этих решетках, то есть в углу, центре куба и центре поверхности (грани), равно$\frac{1}{8}$,$1$, и$\frac{1}{2}$.

Я предположил, что значения были сделаны из-за его определения решетки и самой примитивной ячейки , что

Решетка представляет собой бесконечный массив точек в пространстве, каждая точка которых имеет одинаковое окружение друг к другу (то есть расстояние друг от друга должно быть одинаковым). Решетку можно рассматривать как регулярное замощение пространства примитивной ячейкой.

Примитивная ячейка — это ячейка минимального объема (элементарная ячейка), соответствующая одной точке решетки структуры с дискретной трансляционной симметрией.

( Первое предложение в определении решетки взято из конспекта лекции, второе предложение в определении решетки взято из Википедии )

Таким образом, я думал, что эти точки решетки в трехмерной решетке соответствуют точкам решетки в одной элементарной трехмерной ячейке (поскольку примитивная ячейка соответствует структуре, которая имеет ячейку минимального объема , которая является трехмерной элементарной ячейкой), и с определением решетки все точки должны иметь одинаковые расстояния друг от друга, поэтому 8 углов в простой кубической решетке должны представлять только одну точку решетки. Но я не думаю, что это имеет смысл, потому что углы могут иметь расстояние$l \sqrt{2}$и$l \sqrt{3}$($l$длина ребра куба) к другим углам, и эти точки не идентичны (и не могут быть представлены как единая точка решетки).

1. Какая решетка делает значения точек решетки$\frac{1}{8}$,$1$, и$\frac{1}{2}$? Во многих источниках говорится, что решетки представляют собой твердые сферы (атомы), но я не думаю, что эти решетки были созданы для этой ситуации, потому что я думаю, что решетки Браве не были созданы для твердых сфер (на странице примитивных ячеек не упоминаются какие-либо критерии для решетки). ). Верны ли значения для простой точки (не твердой сферы) решеток Браве?

2. Каково будет значение точки решетки в середине ребра куба?

3. Работает ли значение точки решетки в углу ($\frac{1}{8}$) в гексагональной трехмерной элементарной ячейке? В Википедии сказано, что элементарная ячейка не является примитивной (следовательно, не является решеткой Браве) из-за двух неэквивалентных наборов точек решетки. Я не могу определить значение каждой точки решетки в ячейке и доказать, что оно не соответствует ни одной точке решетки (потому что это не примитивная ячейка).

Есть ли какое-либо геометрическое доказательство получения значения точки решетки в этих трехмерных решетках?