Обычная симметрия элементарной ячейки и точечной группы?

Определение обычной элементарной ячейки решетки - это ячейка, которая содержит те же симметрии точечных групп, что и вся решетка, и является наименьшей такой ячейкой.

Я могу понять, как (бесконечная) решетка может иметь симметрию точечной группы относительно любой точки решетки, такую ​​как вращательная симметрия, зеркальная симметрия и т. д.

Но я не могу видеть то же самое для элементарной ячейки. Пожалуйста, может кто-нибудь объяснить, как мы сравниваем симметрию группы точек элементарной ячейки с симметрией общей решетки? (например, какие точки мы используем, для ячейки, что именно подразумевается под симметрией, когда большинство преобразований перемещают ее из исходного положения и т. д.)

Редактировать

Рассмотрим следующую схему простой 2d кубической решетки:введите описание изображения здесь

На этой диаграмме их элементарная ячейка выделена зеленым цветом. Эта ячейка явно разделяет симметрию отражения через линию А с решеткой. Однако решетка также симметрична за счет отражения через линию B, но элементарная ячейка не симметрична, хотя для решетки это точечная групповая симметрия одной из точек решетки внутри элементарной ячейки. Поэтому я бы сказал, что эта элементарная ячейка и решетка не обладают одинаковой симметрией, и поэтому эта элементарная ячейка не является обычной элементарной ячейкой. Однако я знаю (я довольно уверен), что это действительно обычная элементарная ячейка, учитывая приведенное выше определение, но я не могу понять, как это происходит и где мои рассуждения неверны.

«Обычная элементарная ячейка» не является точным понятием, поскольку существует множество «обычных» элементарных ячеек, названных так разными авторами. Теперь элементарная ячейка Вигнера-Зейтца, которую, возможно, вы сможете понять, учитывая широкое использование Вигнером теории групп.
@JonCuster Хотя термин «условная элементарная ячейка» может быть неточным, я думаю, что мое определение, данное выше, таково, и для данной решетки указывается уникальная ячейка (я немного изменил ее с тех пор, как вы опубликовали свой комментарий).
Что касается вашей последней фразы, вспомните, что операции групп точек не переводят объект. Преобразования не перемещают ячейку.
@garyp рассматривает куб, если вы не повернете его вокруг центра и на очень определенную величину, куб будет занимать другое пространство (т. е. его углы до и после вращения не будут совпадать).
Хорошо, но это не групповая операция. Так что, наверное, я не понимаю, почему вы поднимаете эту возможность. Я беспокоюсь, что не понимаю вашего вопроса.
@garyp Думаю, меня смущает то, как мы идентифицируем элементарную ячейку с той же симметрией, что и кристалл, и что именно означает, что элементарная ячейка имеет ту же симметрию, что и кристалл.
Говорим ли мы, например... "точечная групповая симметрия элементарной ячейки относительно ее центра должна быть такой же, как точечная групповая симметрия кристалла относительно любой точки решетки"?
Если мы возьмем трехмерную версию вашего вопроса, исчезнет ли проблема, если мы возьмем кубическую элементарную ячейку?

Ответы (3)

Определение обычной элементарной ячейки решетки - это ячейка, которая содержит те же симметрии точечных групп, что и вся решетка, и является наименьшей такой ячейкой.

Я не думаю, что это определение «обычной элементарной ячейки».

«Наименьшая ячейка», которая полностью описывает любую структуру, — это примитивная ячейка, то есть наименьшая ячейка, содержащая только одну точку решетки.

https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_cell

Важными симметриями для примитивной ячейки являются трансляционные симметрии, которые являются частью симметрии пространственной группы решетки, а не симметрии точечной группы. Поскольку в определении примитивной ячейки не указывается положение начала ячейки относительно содержащейся точки решетки, симметрия группы точек примитивной ячейки определяется не однозначно и зависит от выбора начала ячейки. Вы можете или не можете найти операции симметрии точечной группы в данной ячейке, которые вы ожидаете, глядя на полный кристалл.

Я хотел бы добавить, что существует процедура поиска примитивной ячейки, называемая процедурой Вигнера-Зейтца. См. , например, эту веб-страницу .

Элементарная ячейка представляет собой трехмерную фигуру, обладающую определенной симметрией (например, куб, четырехугольник и т. д.). Элементарная ячейка выбирается после того, как вы узнали, какова симметрия кристалла, и она выбирается таким образом, чтобы она имела симметрию кристалла (может быть довольно сложной, как здесь ). Вы не можете построить элементарную ячейку, если не знаете, как выглядит ваш кристалл (только по количеству атомов и т. д.). С заданной элементарной ячейкой вы можете воспроизвести свой кристалл.

Привет, спасибо за ваш ответ. Вы сказали, что «он выбран таким образом, чтобы иметь симметрию кристалла», в этом суть моего вопроса. Я не понимаю, как можно сравнивать симметрию элементарной ячейки с бесконечным кристаллом. Я был бы признателен, если бы вы могли более подробно остановиться на этом утверждении. Также см. правки к вопросу выше (я попытался уточнить свои проблемы).
После того, как я прочитал ваше редактирование, я думаю, я вижу, чего не хватает. Ключевым моментом является то, что мы рассматриваем группы POINT, т.е. вы должны заботиться о том, чтобы все элементы группы относились к одной и той же точке. Для элементарной ячейки это обычно "центр" элементарной ячейки, т.е. ее наиболее симметричная точка (центр квадрата в вашем случае). Теперь, если провести через центр ячейки горизонтальную линию, то и ячейка, и решетка будут симметричны относительно отражения.
Другими словами, когда вы ищете элемент симметрии в вашей решетке или элементарной ячейке, вы должны задать вопрос «Могу ли я найти точку/линию, относительно которой моя элементарная ячейка/решетка будет обладать этой симметрией?». Грубый пример того, как ваш предыдущий способ мышления не будет работать на решетке: на вашем рисунке - еще один элемент симметрии - вращение на Пи / 4. Если я случайно выберу любую точку (скажем, 1/5 постоянной решетки от точки A ), моя решетка не будет симметрична относительно вращения на Pi/4. Но если я буду искать точку, для которой это происходит, я найду ее.
Наконец, в общем случае может быть совершенно неочевидно нарисовать элементарную ячейку или найти точку в решетке, для которой соблюдены все симметрии. Я провалил свою первую попытку на экзамене по теории групп, потому что не смог найти его :)
Дополнительный комментарий: как вы знаете, существует определенная свобода выбора элементарной ячейки, которая не ограничивает общности. Например, вы можете поместить центр квадрата в точку B. В этом случае у вас по-прежнему будут горизонтальная и диагональная плоскости отражения, хотя диагональ теперь должна проходить через B.
Говорим ли мы, что мы находим точечную групповую симметрию элементарной ячейки в точке P (которая, вероятно, является центром), и если решетка имеет такую ​​же точечную групповую симметрию относительно P, то эта элементарная ячейка называется обычной?
Я предполагаю, что у людей есть определенная разница в терминологии (может быть, я просто не знаю правильной). Например, меня учили, что примитивные клетки не обязательно обладают решеточной симметрией, но имеют наименьший возможный объем, в то время как элементарные клетки имеют (как Вигнера-Зейтца). Теперь обычной элементарной ячейкой является та, которая построена на векторах Браве и имеет полную симметрию решетки. Я обычно не говорю примитивная элементарная ячейка (если только это не Вигнер-Зейтц), хотя я знаю, что люди говорят (может быть, потому что у меня российское образование).
Итак, опять же в терминологии, которой я привык, любая элементарная ячейка должна иметь симметрию решетки, но общепринятой является построение на векторах Браве.
Я думаю, что здесь телега впереди лошади, так сказать. Мы определяем элементарную ячейку в соответствии с тем, как мы хотим работать с решеткой. Нам может быть нужен определенный набор правил симметрии или определенное операционное соглашение. Проще говоря, элементарная ячейка не раскрывается симметрией решетки, элементарная ячейка может быть выбрана для выявления определенного набора симметрий во всей решетке. В качестве примеров приходят на ум примитивные элементарные ячейки и кубические элементарные ячейки решеток BCC или FCC.

Часть вашей трудности заключается в том, что вы не выбираете точку, относительно которой будете определять свои операции симметрии (в конце концов, они называются точечными симметриями). В случае вашего конкретного квадрата операции симметрии определяются относительно центра квадрата.

введите описание изображения здесь

Это дает понять, что отражения, обозначенные синим или красным цветом, относятся к плоскостям, проходящим через точку симметрии. В частности, размышление о развороте горизонтальной оси ( 12 ) ↔ ( 43 ) .

Если вы выберете атом в квадрате в качестве точки симметрии, вам нужно будет использовать (дискретные) перемещения, чтобы вернуть преобразованный квадрат в исходное положение. Эти трансляции также включены в группу симметрии решетки, поэтому никакого реального вреда не происходит, поскольку любые две ячейки эквивалентны.

Есть несколько хороших источников по этому вопросу, но мне нравится один

А. В. Джоши, Элементы теории групп для физиков .

Разве отражение не есть симметрия, определяемая линией?
да, но эта линия проходит через точку симметрии.
Обычная симметрия элементарной ячейки и точечной группы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v