Геометрия черепахи в 3D

Углы быстро становятся сложными в более высоких измерениях, но есть довольно хороший способ обойти это.

Начнем с примера в 2D. Вот формула движения, которую вы дали:

$$\begin{align*} x' &= x + d\cos r \\ y' &= y + d\sin r \end{align*}$$ где$(x,y)$точка, в которой сейчас находится черепаха, и$(x',y')$точка, куда собирается черепаха. (Простые числа — это просто часть имени — производных нет.) Мы можем записать это в векторной записи: $$\begin{bmatrix} x' \\ y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} \cos r \\ \sin r\end{bmatrix}.$$ Вектор$(\cos r, \sin r)$является единичным вектором, и на самом деле каждый единичный вектор может быть записан в этой форме (во многих языках программирования функция для этого известна как atan2). Таким образом, мы можем полностью забыть об угле и просто предположить, что у нас есть вектор направления$\mathbf{u}$это единичный вектор, и формула обновления становится $$\mathbf{x'} = \mathbf{x} + d\mathbf{u}.$$ Для реализации RT и LT оказывается, что вместо того, чтобы конвертировать$\mathbf{u}$обратно к углу и добавив к нему угол, мы можем повернуть сам вектор. То есть, предположим, мы хотим повернуть LT на$\theta$радианы, формула обновления для заголовка $$\mathbf{u'} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\mathbf{u}.$$ Мы могли бы рассмотреть и другую часть данных, но ее можно получить непосредственно из$\mathbf{u}$, и это единичный вектор$\mathbf{v}$девяносто градусов против часовой стрелки от$\mathbf{u}$. Векторы$\mathbf{u}$и$\mathbf{v}$образуют систему координат с точки зрения черепахи.

и вы можете вывести формулу обновления курса, выяснив, каким будет новый заголовок внутри этой системы координат черепахи, и преобразовав его обратно в стандартные координаты.

Переходя к 3D, мы можем напрямую использовать эти идеи. Вместо этого$\mathbf{u},\mathbf{v}$система координат черепахи, у нас есть$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$система координат черепахи из трех единичных векторов, где$\mathbf{u}$это голова черепахи,$\mathbf{v}$находится прямо слева от черепахи (так что, если бы черепаха была самолетом, она указывала бы в направлении вниз по левому крылу), и$\mathbf{w}$указывает прямо вверх с точки зрения черепахи.

The $\mathbf{w}$является перекрестным произведением двух других, поэтому хранить его не обязательно, но и не повредит.

Учитывая любое трехмерное вращение, записанное как$3\times 3$матрица$R$, формула обновления для системы координат:

$$\begin{bmatrix} & & \\ \mathbf{u'} & \mathbf{v'} & \mathbf{w'} \\ & & \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} & & \\ \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{w} \\ & & \end{bmatrix}$$ где мы представляем системы координат как$3\times 3$сами матрицы. Формула обновления позиции по-прежнему$\mathbf{x'} = \mathbf{x}+d\mathbf{u}$.

Вот вам две матрицы. Первый для LT от$\theta$радианы (также известные как рыскание):

$$\begin{bmatrix} & & \\ \mathbf{u'} & \mathbf{v'} & \mathbf{w'} \\ & & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & \\ \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{w} \\ & & \end{bmatrix}$$ А второй для УТ по$\theta$радианы (иначе шаг): $$\begin{bmatrix} & & \\ \mathbf{u'} & \mathbf{v'} & \mathbf{w'} \\ & & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & \\ \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{w} \\ & & \end{bmatrix}$$ Вы также можете подумать о том, чтобы иметь команды, заставляющие черепаху вращаться вокруг своей головы.

Подводя итог, можно сказать, что «правильное» понятие угла в 3D — это$3\times 3$матрица, столбцы которой представляют собой ортогональные единичные векторы, а определитель которой равен$1$(другая возможность$-1$, но если это будет$1$это то, что заставляет векторы образовывать систему координат, удовлетворяющую правилу правой руки). Это также известно как элемент специальной ортогональной группы $SO(3)$, если вы хотите посмотреть его.

Другие могут предложить использовать кватернионы, но оба подхода эквивалентны. Кватернионы в основном просто позволяют вам написать это$3\times 3$матрица, использующая только четыре числа, а не девять.

---

В другом ответе Potato предлагает использовать углы Эйлера, но если вы хотите, чтобы все команды выполняли повороты с точки зрения черепахи, это неверно. Его RT и LT всегда будут относительно горизонтальной плоскости.

В моей книге

Эдгар, Джеральд А. , Мера, топология и фрактальная геометрия, Тексты для бакалавров по математике. Нью-Йорк и др.: Springer-Verlag. ix, 230 стр. 58 немецких марок за час (1990 г.). ЗБЛ0727.28003 .

в главе 7 «Дополнительные темы» я предлагаю трехмерную геометрию черепахи. (Это только в первом издании книги. Во втором издании я включил различные дополнительные темы.) В дополнение к обычным поворотам (рыскание) и предлагаемым вами поворотам (тангаж) есть еще и кувырок. Вот с. 196:

Внизу код трехмерного дракона...

Вы должны следить за ориентацией носа черепахи в$3D$используя два угла$\phi$(горизонтальный) и$\theta$(угол возвышения от горизонтали)

Единичное направление движения черепахи вперед равно

$N = \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi \\ \cos \theta \sin \phi \\ \sin \theta \end{bmatrix}$

Предположим, вы начинаете с черепахи в$xy$самолет с носом, направленным в плюс$x$направление оси, затем начальная$\phi = 0$и начало$\theta = 0$

С использованием$RT \phi_1$декременты$\phi$к$\phi_1$и$LT \phi_1$приращения$\phi$к$\phi_1$. Сходным образом,$UT \theta_1$приращения$\theta$к$\theta_1$и$DT \theta_1$декременты$\theta$к$\theta_1$.

Затем мы движемся вперед, новая позиция

$P_2 = P_1 + d N$