Гильбертово пространство свободной частицы: счетно или несчетно?

Очевидно, это ответ на вопрос к пост- гильбертовому пространству гармонического осциллятора Phys.SE: счетное или несчетное?

Поэтому я думал, что гильбертово пространство связанного электрона счетно, а гильбертово пространство свободного электрона несчетно. Но рассуждения о гладкости и дельта-функциях в ответах на предыдущий вопрос убеждают меня в обратном. Почему гильбертово пространство свободной частицы также несчетно?

Свободная частица и гармонический осциллятор имеют одно и то же гильбертово пространство. л 2 ( р н ) .

Ответы (1)

Гильбертова размерность гильбертова пространства свободной частицы счетна . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что

  1. Гильбертово пространство свободной частицы в трех измерениях равно л 2 ( р 3 ) .

  2. Ортонормированный базис гильбертова пространства ЧАС любое подмножество Б ⊆ ЧАС промежуток которого плотен в ЧАС .

  3. Все орторнормальные базисы данного непустого гильбертова пространства имеют одинаковую мощность, и мощность любого такого базиса называется гильбертовой размерностью пространства.

  4. Гильбертово пространство л 2 ( р 3 ) является отделимым ; он допускает счетный ортонормированный базис. Следовательно, по определению гильбертовой размерности гильбертова пространства оно имеет счетную размерность.

Дополнение. 2014-10-19

Существует еще одно понятие базиса, которое обычно не упоминается при обсуждении гильбертовых пространств, а именно базис Гамеля (также известный как алгебраический базис ). Существует соответствующая теорема, называемая теоремой о размерности, которая говорит, что все базы Гамеля векторного пространства имеют одинаковую мощность, и тогда размерность векторного пространства определяется как мощность любого базиса Гамеля.

Можно показать, что любой гамелевский базис бесконечномерного гильбертова пространства несчетен .

В результате размерность (в смысле базисов Гамеля) гильбертова пространства свободных частиц несчетна, но опять же, это обычно не тот смысл, в котором термин размерность используется в этом контексте, особенно в физике.

Значит, вся Вселенная или, по крайней мере, вся квантовая механика счетны? Мне однажды так сказал один очень известный физик, но я не думал, что это позиция большинства.
Но тогда для чего нужны оснащенные гильбертовы пространства? Я думал, что весь их смысл в последовательном смешивании исчисляемого и неисчисляемого? Беглый просмотр Википедии показывает: «Они могут объединить «связанное состояние» (собственный вектор) и «непрерывный спектр» в одном месте».
@ Джим Я (и никто другой, кого я знаю) могу с уверенностью говорить о гильбертовом пространстве Вселенной. Что я могу вам сказать, так это то, что большинство физиков моделируют состояние свободной частицы как вектор в л 2 ( р 3 ) размерность которых счетна. Я недостаточно знаком с фальсифицированными гильбертовыми пространствами, чтобы, к сожалению, сказать что-нибудь разумное об их полезности.
@Jim Если вы используете формализм фальсифицированного гильбертова пространства, ваше пространство состояний на самом деле является подпространством счетного гильбертова пространства. См. здесь: physics.stackexchange.com/questions/43515/…
Собственные векторы и непрерывный спектр являются свойствами операторов, а не гильбертова пространства. Замкнутое подпространство сеперабельного гильбертова пространства также является сеперабельным гильбертовым пространством, если его размерность бесконечна. Все сеперабельные гильбертовы пространства унитарно эквивалентны, хотя могут выглядеть совершенно по-разному.
@jjcale: не совсем понятно, к кому вы обращаетесь.
@ user1504: Я обращаюсь к вам и Джиму Граберу.
@jjcale Подпространство, о котором я говорю, не закрыто.
@ user1504: хорошо, но тогда это не гильбертово пространство.
@jjcale: никто не сказал, что это так. Это область алгебры наблюдаемых.
@ user1504: Но вопрос о гильбертовых пространствах.
@jjcale Джим задал второй вопрос (в своем комментарии) о фальсифицированных гильбертовых пространствах. В этом формализме пространство состояний на самом деле не является гильбертовым пространством. Вместо этого это векторное подпространство некоторого гильбертова пространства. Этого достаточно, чтобы ответить на вопрос Джима. Для получения более подробной информации о формализме см. ответ на вопрос, на который я ссылался выше.
@joshphysics- Как может быть гильбертово пространство свободных частиц? л 2 ( р 3 ) ? Состояния свободных частиц являются собственными состояниями импульса и, следовательно, имеют вид ∼ е я к → ⋅ р → , которые не интегрируются с квадратом . Есть ли счетный базис в случае свободной частицы?
@Roopam Собственные состояния импульса, строго говоря, не являются элементами гильбертова пространства свободной частицы. Каждая безупречная основа гильбертова пространства свободной частицы счетна. Один из примеров такой основы приведен здесь en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Hermite_functions , как указано в ответе.
@joshphysics- Хорошо. Но я не понимаю, почему мы выбрасываем этот набор { е я к → ⋅ р → } вне гильбертова пространства? Поскольку они не интегрируемы с квадратом, это означает, что они не принадлежат л 2 . Это нормально. Но мы могли бы расширить гильбертово пространство от л 2 , к чему-то, что также включает эти функции. Не так ли? Означает ли это, что эти решения физически неприемлемы? Но в задачах с рассеянием и в других случаях мы пользуемся такими функциями? Что такое гильбертово пространство? Всегда ли мы используем л 2 в квантовой механике? Спасти вероятностную интерпретацию Борна?
@Roopam Я бы порекомендовал вам исследовать фальсифицированные гильбертовы пространства, которые возникают именно в результате попыток включить в пространство состояний функции, не интегрируемые с квадратом. Когда мы решаем задачи рассеяния и т. д., полезно использовать плоские волны для получения определенных результатов, но в конечном счете, когда мы хотим использовать вероятностные интерпретации квантовой механики, как вы указываете, физически допустимые состояния должны быть л 2 .
@joshphysics-Из «Принципов квантовой механики» Дирака «Пространство бра или кет-векторов, когда векторы ограничены до конечной длины и имеют конечные скалярные произведения, математики называют гильбертовым пространством. Бра-векторы и кет-векторы, которые мы сейчас используем образуют более общее пространство, чем гильбертово ». страница-40. Если мы не расширим гильбертово пространство квантовой механики от л 2 , состояния рассеяния ЧАС − атом не может там жить, но не думаю, что есть основания считать их нефизическими.
@joshphysics- Скорее, я откажусь от интерпретации абсолютной вероятности и буду искать относительную вероятность, как говорят Ландау и Лифшиц. Но на самом деле ты был прав, { е я к Икс } -состояния нефизичны, как и { дельта ( Икс − Икс 0 ) } . Но все состояния рассеяния не являются нефизическими, как у атома водорода. Поэтому они должны быть включены в гильбертово пространство. Я прав?
Описание рассеяния @SRS не требует от нас выхода за пределы гильбертова пространства. Обычное использование е я к Икс объясняется тем, что это упрощает расчеты. Чтобы сделать это более корректно, следует проводить расчеты рассеяния с волновыми пакетами, описываемыми нормированными пси-функциями. Таким образом, вместо того, чтобы представлять входящую частицу как бесконечно широкую волну (что, очевидно, не является физическим), можно было бы представить ее как волну, ограниченную в своем пространственном распространении (ширина пакета определяется экспериментальной установкой, например, ширина волны была бы ограничена). отверстиями в источнике частиц).
Гильбертово пространство свободной частицы: счетно или несчетно?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v