Распределительное расширение гильбертова пространства

Этот вопрос взят из раздела «Комплексификация» современной канонической квантовой общей теории относительности Томаса Тимана , но я считаю, что он касается только основ квантовой механики.

Основная идея заключается в том, что вы хотите включить меры распределения, такие как дельта Дирака, в ваше гильбертово пространство. Итак, вы начинаете с гильбертова пространства ЧАС "=" л 2 ( С , г мю ) как интегрируемые с квадратом функции на конфигурационном пространстве С относительно меры г мю . Теперь, если вы хотите попробовать включить дельта-функцию, определенную относительно меры вероятности г мю ′ с помощью

∫ дельта ( д − д ′ ) ф ( д ′ ) г мю ′ "=" ф ( д ) ,

Вам нужно дистрибутивное расширение (его точная фраза для этого) конфигурационного пространства, С ¯ . Далее он говорит, что тогда вы могли бы создать такое состояние распределения, как

ψ д ′ "=" опыт ⁡ ( − ф ) дельта д ′
для соответствующей функции сглаживания ф быть интегрируемой с квадратом, если вы тщательно выбрали функцию сглаживания (все это связано с когерентными состояниями, что, опять же, я думаю, не слишком важно).

У меня проблема в том, что я не понимаю, как это может быть гильбертовым пространством. Конкретно:

  1. Похоже, у нас есть две меры, г мю для исходной функции на С и г мю ′ для меры по С ¯ . Возможно ли это, или я неправильно понял, и мы просто расширяем г мю также применяется к дистрибутивам, например г мю ¯ ? Всегда ли это возможно?
  2. Кроме того, это все еще должно быть векторным пространством, так как же я должен понимать аддитивное свойство? Распределения двойственны функциям на С , так что я могу просто добавить такие двойные числа вместе, как
    ф ( д ) + дельта ( д − д ′ )
    и ожидать от них смысла? Конечно, они имеют какой-то смысл во внутреннем продукте, но разве это не должно быть четко определено в базовом векторном пространстве?
Расширение не является гильбертовым пространством, потому что оно не самодвойственно/не имеет внутреннего продукта (какой бы внутренний продукт дельта с собой быть?). Эта конструкция известна как оснащенное гильбертово пространство/тройка Гельфанда . В частности, вы определяете «расширение распределения» как двойственное в некотором подпространстве вашего гильбертова пространства.
Примечание к вопросу 2: добавление распределений не является проблемой, они, безусловно, образуют векторное пространство (по определению двойственное векторному пространству является векторным пространством).
@ACuriousMind: Хорошо, кажется, я понял. Дельты являются частью пространства, двойственного некоторому подпространству гильбертова пространства, снабженному собственной мерой, так что дельта * ( ф ) =< дельта , ф > (или некоторые правильные обозначения!). Таким образом, распределения не должны быть интегрируемыми с квадратом, но если вы хитрые, вы можете построить интегрируемые с квадратом функции, которые включают дельты.

Ответы (1)

Я совсем не специалист по квантовой гравитации, но я думаю, что вы неправильно поняли суть.

Насколько я понимаю, дело не обязательно в наличии распределений в виде векторов квантового гильбертова пространства, а в наличии распределительного «конфигурационного пространства», т.е. распределений в виде области определения функций, которые являются квантовыми векторами.

В то время как в КМ (т.е. для частиц) конфигурационное пространство (и, следовательно, связанное с ним фазовое пространство) конечномерно, в КТП конфигурационное пространство обычно является реальным бесконечномерным гильбертовым пространством. Имеется результат Сегала , где доказывается, что фоковское пространство, построенное над одночастичным пространством ЧАС изоморфен л 2 ( ЧАС р , г мю г ) пространство интегрируемых с квадратом функционалов Ψ ( ф ) , где аргумент (объект конфигурационного пространства) — элемент ф е ЧАС р (вещественное гильбертово пространство с теми же элементами, что и ЧАС а скалярное произведение - действительная часть скалярного произведения ЧАС ); и мера мю г есть гауссова мера над пространством ЧАС р . Это означает, что при интеграции функционала Ψ ¯ Ψ сверх меры г мю г ( ф ) , вы выполняете интегрирование по всем возможным ф е ЧАС р :

∫ ЧАС р Ψ ¯ ( ф ) Ψ ( ф ) г мю г ( ф ) .
Это аналог квантового поля обычного л 2 ( р г , г Икс ) пространство функций, интегрируемых с квадратом, с мерой Лебега, обычно используемой в КМ частиц (и оно изоморфно более распространенной формулировке пространства Фока для скалярного поля).

Теперь пространство конфигураций ЧАС р уже является пространством распределений (если оно, как обычно, сепарабельно, то оно изоморфно некоторому л 2 ( р г , г Икс ) и это подпространство С ′ ( р г ) ), а не только гладких функций. Аналогичная процедура предпринимается при рассмотрении конфигурационного пространства гравитационного поля. Дело в том, что недостаточно рассматривать гладкие конфигурации: необходимо соответствующим образом определить меру мю , чтобы взять замыкание (в подходящей топологии, которую я представляю) гладких конфигураций, таким образом получая также дистрибутивные объекты. Я не знаю подробностей, но кажется, что это можно сделать достаточно строго. В любом случае, пространство квантовых состояний по-прежнему остается пространством интегрируемых с квадратом функционалов. Ψ ( ф ) из этих конфигураций ф , просто последние могут быть более общими/сингулярными, чем только гладкие конфигурации.

Я думаю, вы совершенно правы - в LQG гильбертово пространство л 2 ( А ¯ , мю ) по пространству распределительных соединений А ¯ . Должно быть, они делают что-то подобное здесь для когерентных состояний, но общий язык меня смущал. Спасибо!
Распределительное расширение гильбертова пространства
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v