Открытая проблема? Квадрат волновой функции Ψ(x)xo=δ(x−x0)Ψ(x)xo=δ(x−x0)\Psi(x)_{x_o} = \delta(x-x_0) локализованной частицы в точке x0x0x_0?

С математической точки зрения, поскольку вы хотите, чтобы ваши волновые функции были интегрируемыми с квадратом, ваши волновые функции должны быть в$L^2$или какое-то его подпространство. Однако вы не найдете в этом пространстве функцию, имеющую носитель на счетном множестве точек, поскольку интеграл Лебега не может видеть счетные множества (мера 0), следовательно, не может быть функции (т. е. волновой функции) с носителем в одной точке (кстати, по этой причине дельта-функция не является «функцией»).

Это говорит нам о том, что волновая функция полностью локализованной частицы не может быть определена в обычном контексте функций, интегрируемых с квадратом Лебега, что не слишком трагично, потому что мы все равно не думаем, что это имеет физический смысл.

Я не могу понять ответ Мартина, хотя думаю, что на ОП есть отличный физический ответ.

Большинство людей забывают, что дельта Дирака может быть аппроксимирована очень многими функциями, так как некоторый параметр (скажем,$\sigma$) стремится к нулю. Одним из таких классов функций является, конечно,$f(x) = (\sqrt{\pi}/\sigma) exp (-x²/\sigma²)$. Примем это как приближение к распределению вероятностей ( не волновой функции) квантового состояния, представляющего частицу, ограниченную началом координат. Эта функция гладкая, интегрируемая, нормированная на 1.

Связанная с ним волновая функция,$\phi(x) = (\sqrt{\pi}/\sigma)^{1/2} exp (-x²/(2\sigma²))$также является гладким и интегрируемым на том же интервале, а значение этого интеграла$\rightarrow 0$как$\sigma \rightarrow 0$.

Но на самом деле нас не заботит интегрируемость волновой функции как таковой , а только то, что она дает значимые результаты, когда мы вычисляем амплитуды переходов. И для произвольной волновой функции$\psi(x)$амплитуда перехода всегда пропорциональна

$\int \psi(x) \phi^*(x) dx$

который легко вычисляется из предыдущего в пределе$\sigma \rightarrow 0$: это всегда дает$0$, пока не$\psi(x) = \phi(x)$, в этом случае получается$1$. Имеет ли это смысл? Да, это так: всякий раз, когда$\psi$не является волновой функцией частицы, ограниченной в начале координат ( т. е . когда она представляет собой частицу, заключенную в другом месте, или когда она представляет собой частицу, не ограниченную вообще), две волновые функции ортогональны, поскольку они представляют совершенно разные физические состояния: интеграл выше (в квадрате) — это вероятность того, что произвольное квантовое состояние будет найдено точно в начале координат, которая, конечно, равна нулю как для гладких распределений вероятностей, так и для частиц, удерживаемых в точке, которая не является началом.

Следовательно, имеет смысл тот факт, что приведенный выше интеграл равен нулю, если только$\psi=\phi$когда это должно дать уверенность ($=1$).

Подводя итог, можно сказать, что волновая функция состояния, представляющего собой частицу, удерживаемую в начале координат, существует, является гладкой и интегрируемой до тех пор, пока$\sigma > 0$, но мы не беспокоимся об этом (по крайней мере, с физической точки зрения), потому что волновая функция сама по себе не является наблюдаемой, потому что все, о чем мы заботимся, это то, что амплитуды перехода существуют, и они существуют и имеют физический смысл даже в ограничение$\sigma\rightarrow 0$.

Метод замены дельты Дирака ее аппроксимациями часто приводит к вполне разумным ответам.

Большинство ученых согласны с тем, что в КМ все еще есть некоторые проблемы с интерпретацией, поэтому трудно делать однозначные заявления. ИМО, точечные одиночные квантовые чистые состояния (т. е. «лучи» гильбертова пространства) физически не измеримы и даже физически не реализуемы. Они представляют собой идеализацию нулевой энтропии и поэтому не могут быть реализованы в соответствии с формулировкой Нернста о третьем законе термодинамики. Ни одно свойство физического объекта не может проявить существование в интервале пространства-времени нулевой протяженности, например, ни один объект не может проявить реальное числовое положение, даже его ЦТ. Это означает, что каждое реализуемое квантовое состояние представляет собой смешанное состояние нескольких одновременно существующих некогерентных чистых состояний. (Они представляют собой некогерентные суперпозиции, иначе они были бы выражены как когерентная сумма чистых состояний, т. е. один компонент, нулевая энтропия, чистое состояние.) Это, однако, ставит под сомнение вероятностную интерпретацию КМ. Соответствующая вертикальная метрика, которая должна применяться к квадрату величины реализуемого квантового распределения смешанного состояния, должна быть физической или онтической метрикой, а не вероятностной. Итак, OP, собственные значения с реальными номерами (точечные) физически не реализуемы, все значения явных физических свойств являются распределениями, а не действительными числами.