Не понимаю интеграл по квадрату дельта-функции Дирака

Итак, дельта-функция Дирака $\delta(x)$является распределением , также известным как обобщенная функция.

Например, можно представить $\delta(x)$как предел прямоугольной вершины с единичной площадью, шириной$\epsilon$, и высота$1/\epsilon$; то есть

$$\tag{1} \delta(x) ~=~ \lim_{\epsilon\to 0^+}\delta_{\epsilon}(x),$$ $$\tag{2} \delta_{\epsilon}(x)~:=~\frac{1}{\epsilon} \theta(\frac{\epsilon}{2}-|x|) ~=~\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{\epsilon}&\text{for}& |x|<\frac{\epsilon}{2}, \\ \frac{1}{2\epsilon}&\text{for}& |x|=\frac{\epsilon}{2}, \\ 0&\text{for} & |x|>\frac{\epsilon}{2}, \end{array} \right.$$

куда$\theta$обозначает ступенчатую функцию Хевисайда с$\theta(0)=\frac{1}{2}$.

Продукт$\delta(x)^2$двух дельта-распределений Дирака, строго говоря, не$^1$имеет математический смысл, но для физических целей попробуем вычислить интеграл от квадрата регуляризованной дельта-функции

$$\tag{3} \int_{\mathbb{R}}\! dx ~\delta_{\epsilon}(x)^2 ~=~\epsilon\cdot\frac{1}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\epsilon} ~=~\frac{1}{\epsilon} ~\to~ \infty \quad \text{for} \quad \epsilon~\to~ 0^+.$$

Предел бесконечен, как утверждает Гриффитс.

Следует подчеркнуть, что в традиционной математической теории распределений уравнение. (2.95) определено априори, только если$f$является гладкой тест-функцией. В частности, использование уравнения не является математически строгим. (2,95) (с$f$заменены распределением) для обоснования смысла интеграла от квадрата дельта-распределения Дирака. Нечего и говорить, что если вслепую подставлять распределения в формулы для гладких функций, то легко прийти к всякого рода противоречиям! Например,

$$\frac{1}{3}~=~ \left[\frac{\theta(x)^3}{3}\right]^{x=\infty}_{x=-\infty}~=~\int_{\mathbb{R}} \!dx \frac{d}{dx} \frac{\theta(x)^3}{3}$$ $$\tag{4} ~=~\int_{\mathbb{R}} \!dx ~ \theta(x)^2\delta(x) ~\stackrel{(2.95)}=~ \theta(0)^2~=~\frac{1}{4}.\qquad \text{(Wrong!)}$$

--

$^1$Мы игнорируем теорию Коломбо . См. также этот пост mathoverflow.

Вам не нужно ничего, кроме вашего понимания

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$$ Просто обработайте одну из дельта-функций как $f(x)\equiv\delta(x-\lambda)$в вашей проблеме. Так что это будет что-то вроде этого: $$\int\delta(x-\lambda)\delta(x-\lambda)dx=\int f(x)\delta(x-\lambda)dx=f(\lambda)=\delta(\lambda-\lambda)$$ Так вот.

Предположим, я хочу показать

$$\int \delta(x-a)\delta(x-b)\; dx = \delta(a-b)$$ Для этого мне нужно показать $$\int g(a)\int \delta(x-a)\delta(x-b) \;dx \;da = \int g(a)\delta(a-b)\; da$$ для любой функции $g(a)$. $$\begin{align}\textrm{LHS}& = \int \int g(a) \delta(x-a)\;da \ \delta(x-b) \;dx\\ &=\int g(x)\delta(x-b)\;dx \\&=g(b) \end{align}$$ Но $\textrm{RHS}$четко $=g(b)$слишком.

Результат следует положить$a=b=\lambda$