Глупые сомнения в приливных эффектах и ​​уравнениях поля Эйнштейна

Предположим, я даю вам следующий элемент строки:

Ничего не говоря, вы можете подумать, что это просто еще один линейный элемент, подобный линейному элементу в сферических координатах; Вы можете подумать, что я просто выполняю очередное преобразование координат в системе, наделенной определенной диаграммой в многообразии.$(M,g)$.

Но, если я скажу вам, что$(1)$линейный элемент описывает ньютоновскую гравитацию, и, кроме того, символы$\phi$являются именно ньютоновским потенциалом гравитации, то вы можете спросить: "почему?" Я бы дал вам следующее объяснение:

Затем движение свободно падающей частицы в искривленном пространстве-времени определяется следующим вычислением абсолютной или внутренней производной:

$$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = p^{b}(\partial_{b}p^{a} + \Gamma ^{a}_{cb}p^{c})$$ Если вы рассматриваете линейный элемент$(1)$и нерелятивистских скоростях, то уравнение движения сводится к (пространственным составляющим): $$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = m\frac{d}{d\tau}p^{i} + \Gamma ^{i}_{00}(p^{0})^{2}$$ Что после расчетов сводится к: $$\frac{dp^{i}}{d\tau} = -m \delta^{ij}\partial _{j}\phi = -m\partial _{i}\phi$$ Теперь, учитывая, что мы находимся в режиме низких скоростей, справедливо уравнение Ньютона: $$F^{i} = -m(\nabla \phi_{g})^{i}$$ Тогда, поскольку согласно специальной теории относительности также верно, что: $$F^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau}$$ Затем, $$-m(\nabla \phi_{g})^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau} = -m\partial _{i}\phi$$ Подразумевает, что $$\phi = \phi_{g}$$ И линейный элемент действительно описывает ньютоновскую гравитацию.

Теперь, при разумном объяснении, что$\phi = \phi_{g}$, можно было бы также сказать, что по принципу эквивалентности$(1)$также описывает в локальной области релятивистскую форму гравитации.

Но вот мое сомнение, я знаю, что геодезическое отклонение дает вам тензор Римана, а для метрики$(1)$Вы можете заключить, что общая величина, которая кодирует понятие «гравитация как кривизна», очень хорошо подходит для тензора Риччи, потому что следующее выражение дает вам возможность говорить о приливных эффектах:

$$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}} = R^{\mu}_{\nu \gamma \beta} u^{\nu}u^{\gamma} \delta x^{\beta} \implies a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j}$$

Где$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}}$называется ускорением между геодезическими, заданным геодезическим отклонением .

А теперь сомнения: почему приливные эффекты нелокальны? Поскольку мы можем описать приливные эффекты линейным элементом$(1)$к

$$a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j} = -\frac{1}{c^{2}}\partial^{k} \partial_{k}\phi_{g}$$