Совместима ли специальная теория относительности с принципом эквивалентности Эйнштейна (EEP)?

Людям, изучающим специальную теорию относительности, слишком часто говорят, что это всего лишь теория, которая работает для инерциальных систем отсчета. Это неправда . Специальная теория относительности — это просто теория гравитации в плоском пространстве.

Позвольте мне уточнить.

(Следующие несколько абзацев предназначены для тех, кто только изучает теорию относительности, и их можно пропустить для тех, кто знаком с четырехвекторным формализмом.)

Суть специальной теории относительности заключается в определении лоренц-инвариантной меры собственного времени . Для двух событий, разделенных временем$\Delta t$и пространственное смещение$\Delta\textbf{x}$, мы определяем

$$\Delta\tau^2=\Delta t^2-\Delta\textbf{x}^2$$

В единицах, где$c=1$. Чтобы проверить, что это Лоренц-инвариант, световой импульс также будет иметь$\Delta t=|\Delta\textbf{x}|$, и так$\Delta\tau=0$. При преобразованиях Лоренца, поскольку скорость света сохраняется постоянной, это инвариантно. Инвариантность для других скоростей легко проверяется.

Геометрическая интерпретация этой инвариантности лежит в основе СТО и ОТО. Если мы определим четырехвектор как векторный объект,$x^{\mu}$, с четырьмя компонентами ($\mu=0,1,2,3$) такой, что$x^0=t$,$x^1=x$,$x^2=y$, и$x^3=z$. Тогда бесконечно малая форма собственного времени определяется выражением

$$\mathrm{d}\tau^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^{\mu}\,\mathrm{d}x^{\nu}$$

Где$\mu$и$\nu$неявно суммируются и$\eta$представляет собой матрицу с элементами

$$\eta=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Это пример того, что мы называем метрическим тензором . На данный момент не так важно понимать геометрию метрического тензора, просто представьте его как матрицу, которая вычисляет «расстояние» между двумя объектами.

Обратите внимание, однако, что происходит, когда мы меняем координаты$x^{\mu}\to\xi^{\mu}$, где$\xi$координаты произвольно зависят от$x$координаты. У нас есть

$$\mathrm{d}\tau^2=\eta_{\mu\nu}\left(\frac{\partial x^{\mu}}{\partial\xi^{\rho}}\mathrm{d}\xi^{\rho}\right)\left(\frac{\partial x^{\nu}}{\partial\xi^{\sigma}}\mathrm{d}\xi^{\sigma}\right)\equiv g_{\rho\sigma}(\xi)\mathrm{d}\xi^{\rho}\mathrm{d}\xi^{\sigma}$$

Где мы определили нового зверя,$g(\xi)$, который теперь является метрическим тензором, зависящим от положения в пространстве-времени. Это фундаментальный объект ОТО (хотя мы и не занимаемся ОТО!).

Давайте фактически вычислим пример этого. В сферических координатах имеем$t=t$,$x=r\cos{\phi}\sin{\theta}$,$y=r\sin{\phi}\sin{\theta}$, и$z=r\cos{\theta}$. Преобразовывая координаты, имеем

$$\mathrm{d}\tau^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}r^2-r^2\left(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2{\theta}\mathrm{d}\phi^2\right)$$

Коэффициенты дифференциальных изменений координат зависят от положения!

Существует еще один пример (который более соответствует тому, что вы хотите), называемый координатами Риндлера , в котором правильный элемент времени задается как

$$\mathrm{d}\tau^2=a^2x^2\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}\textbf{x}^2$$

Хотя это не очевидно, эти координаты описывают постоянное ускорение$a$в$x$направлении и связаны с промежуточной системой отсчета преобразованиями

$$t\to\frac{1}{a}\text{arctan}\left(\frac{t}{x}\right),\hspace{0.5cm}x\to\sqrt{x^2-t^2},\hspace{0.5cm}y\to y,\hspace{0.5cm}z\to z$$

Поскольку существует преобразование координат, которое связывает эту ускоряющуюся систему отсчета с плоской системой отсчета, оно полностью совместимо со специальной теорией относительности.

Хорошо, это много разговоров о специальной теории относительности без упоминания о том, как она связана с общей теорией относительности. Основная идея состоит в том, что в общей теории относительности не обязательно существует преобразование, которое переводит метрический тензор$g$к плоской метрике$\eta$в каждой точке. Однако он допускает преобразование в любой момент$X$такой, что$g(X)=\eta$и$\partial_{\mu}g(X)=0$(здесь,$\partial_{\mu}=\partial/\partial x^{\mu}$). Вот что на самом деле говорит принцип эквивалентности .

Вблизи гравитационного тела метрический тензор приближенно задается метрикой Риндлера (это то же самое, что сказать, что вблизи гравитационного тела мы можем аппроксимировать поле как постоянное ускорение). Поскольку происходит преобразование риндлеровских координат в плоские, мы имеем, что существует набор координат (а именно координат свободного падения), такой, что гравитационное поле выглядит локально инерционным!

Я потратил много времени, чтобы объяснить вам, почему работает принцип эквивалентности. Это был очень длинный обходной путь, а теперь давайте перейдем к сути вашего вопроса: распространение света в ускоренной системе отсчета по сравнению с гравитационным полем.

Сначала я отвечу на последнюю часть вашего вопроса. Результаты были бы одинаковыми, если бы лазерный импульс для ускоренного наблюдателя создавался внутри отсека или вне его, что касается интервалов между излучением и поглощением.

Что касается первой части вашего вопроса: вы рассматриваете сценарий, в котором импульс периодически испускается лазером, и вы измеряете его путь. В этой системе координат сам путь не зависит от времени. Однако в инерциальной системе отсчета, поскольку сам лазер движется, точка, в которую попадает импульс, явно зависит от времени. Отсек не только движется, но и сжимается тем сильнее, чем быстрее он движется. Интерпретация, согласно которой инерциальный наблюдатель видит, как отсек движется все быстрее и быстрее, в то время как он становится все короче и короче, так что импульс всегда попадает в одно и то же место в отсеке.

Я надеюсь, что это полезно. Если что-то непонятно (как это обычно бывает в подобных задачах), не стесняйтесь задавать вопросы!