Путаница в отношении принципа эквивалентности

Есть два основных момента

1. Траектория, по которой движется частица, экстремально действует. Это означает, что действие инвариантно относительно бесконечно малых возмущений траектории и не обязательно относительно конечных возмущений.

2. интеграл$\int\sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^nu}$вдоль кривой на самом деле собственное время кривой$\int_{\gamma(t_{init})}^{\gamma(t_{fin})} \sqrt{-g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}dt$. Это не зависит от координат. Если затем разделить интеграл на$N$бесконечно малые интервалы:
   

   $$\sum_{i=0}^N\int_{\gamma(t_i)}^{\gamma(t_{i+1})} \sqrt{-g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}dt,$$ где$t_0=t_{init}$и$t_N=t_{fin}$на самом деле вы можете использовать разные локальные инерциальные координаты на каждом интервале, и это должно дать тот же результат, что и использование любой другой системы координат. Но мы знаем, что каждый интервал дает один и тот же результат до$o((t_{i+1}-t_i)^2)$как соответствующую формулу STR, поэтому после суммирования всех интервалов результат по-прежнему$o(\Delta t)$, т.е. результаты одинаковы.

Так что локальность действительно есть, скрытая по вариационному принципу.

Я думаю, что аргумент, приведенный Umaxo, очень хорош и способствует пониманию. Однако это не является доказательством того, что замена$\eta_{\mu\nu}$к$g_{\mu\nu}$— единственное, что можно сделать, чтобы получить теорию, которая соблюдает принцип эквивалентности и сводится к специальной теории относительности в плоском пространстве-времени. Можно было бы добавить к формуле для действия дополнительные члены, включающие тензор кривизны Римана (или его сокращения), и такое действие все равно сводилось бы к специальной теории относительности в случае нулевой кривизны. Я думаю, самое большее, что можно утверждать, исходя из специальной теории относительности, это то, что замена$\eta_{\mu\nu}$к$g_{\mu\nu}$вот самый простой способ получить скалярную величину, которая могла бы служить лагранжианом. Затем с помощью анализа проверяется, действительно ли он делает разумные предсказания, и, следовательно, поощряется предлагать его как гипотезу или, если хотите, как часть физической теории. Затем нужно проверить это опытным путем.

Сказав это, интересным аспектом общей теории относительности является то, что не нужно предлагать действие «поля» (т.е. пространства-времени и его кривизны) на частицы как независимое утверждение от уравнения поля (здесь уравнение Эйнштейна). Это потому, что можно утверждать, что пробная частица должна двигаться так же, как локальное изменение или «выпуклость» в поле, а уравнение поля говорит этой локальной «выпуклости», как двигаться. Это рассматривается, среди прочего, в учебнике MTW.